求∫dx/(x-1)(x-2)的不定积分

Question

如题所述

Answer 1

解答过程如图：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a，b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

扩展资料：

把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。

其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

有理函数分为整式（即多项式）和分式（即两个多项式的商），分式分为真分式和假分式，而假分式经过多项式除法可以转化成一个整式和一个真分式的和．可见问题转化为计算真分式的积分。可以证明，任何真分式总能分解为部分分式之和。

参考资料来源：百度百科——不定积分

Answer 2

设：
1/(x^2+1)(x^2+x)=[(ax+b)/(x^2+1)]+(c/x)+[d/(x+1)]
右边通分对应项相等，即可得到：
a=b=d=-1/2,c=1.
此时积分为：
原式
=-（1/2)∫(x+1)dx/(x^2+1)+∫dx/x-(1/2)∫dx/(x+1)
=-(1/2)∫xdx/(x^2+1)-(1/2)∫dx/(1+x^2)-lnx-(1/2)ln(x+1)
=-(1/4)∫d(x^2+1)/(x^2+1)-(1/2)arctanx-lnx-(1/2)ln(x+1)
=-(1/4)ln(1+x^2)-lnx-(1/2)ln(x+1)-(1/2)arctanx+c
=-ln[(1+x^2)^(1/4)*x*(x+1)^(1/2)]-(1/2)arctanx+c.

Answer 3

∫dx/√[(x-1)(2-x)]
=∫dx/√(-x^2+3x-2)=∫dx/√[-(x^2-3x)-2]
=∫dx/√{-[x^2-3x+(3/2)^2]-2+9/4}
=∫dx/√[1/4-(x-3/2)^2]
=∫dx/√[(1/2)^2-(x-3/2)^2]
=∫dx/【1/2√{1-[(x-3/2)/2]^2}】
=∫d[(x-3/2)/2]/√{1-[(x-3/2)/2]^2}
设(x-3/2)/2=sint，
则t=arcsin[(x-3/2)/2]
原试=∫d(sint)/√[1-(sint)^2]
=∫costdt/cost
=∫dt
=t+C
=arcsin[(x-3/2)/2]+C
希望帮你解决了本题。学习顺利。望采纳。

Answer 4

1/(x-1)/(x-2)=A/(x-1)+B/(x-2)
二者乘以(x-1)*(x-2)，得到1=A(x-2)+B(x-1)，有A+B=0，-2A-B=1
得到A=-1，B=1
积分=-ln(x-1)+ln(x-2)+C追问

能用换元法吗？这个不懂(=_=)

追答

换元法用不上，查看教科书《有理函数积分》

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Answer 5

原式=∫[（ax+b)/(x^2+1)+(cx+d)/(x^2+x)]dx
化简得a=-2/3 b=-1/3 c=2/3 d=1
代入后化简得∫ [ -x/3(x^2+1) - 1/3(x^2+1) +(2x+1)/3(x^2+x) + 2/3(x^2+1) ] dx
(其中∫2/3(x^2+1) dx可化为∫[2/x - 2/(x+1)] dx
再化简得（-1/6)ln(x^2+1) - (1/3)arctan(x) + (1/3)ln(x^2+x) + 2ln(x) - 2ln(x+1)