如何计算两个随机变量的概率密度函数？

Question

如题所述

Answer 1

要计算两个不同分布的随机变量相乘的概率密度函数，需要使用概率密度函数的卷积公式。
设两个随机变量为X和Y，它们的概率密度函数分别为fX(x)和fY(y)。它们的乘积Z = X * Y的概率密度函数fZ(z)可以通过以下公式来计算：
fZ(z) = ∫fX(x) * fY(z / x) * |1/x| dx
其中，|1/x|是x的绝对值的倒数，表示求得的概率密度函数在不同的x值之间可能具有不同的正负号。
这个公式的核心思想是，对于每个z值，我们需要考虑所有可以得到这个z值的x和y的组合，然后对它们的概率密度函数进行乘积和求和。
注意，这个公式的适用范围有限。具体来说，如果X和Y是独立同分布的随机变量，那么乘积Z的概率密度函数可以使用以下公式来计算：
fZ(z) = ∫fX(x) * fY(z / x) * |1/x| dx
但是，如果X和Y不是独立同分布的随机变量，则需要考虑其他更为复杂的卷积公式。