“300分”求高人证明这两道题

Question

1.已知,△ABC,P是其外接圆上的任意一点. P分别向三边作垂线,垂足为D,E,F. 求证:D,E,F三点共线. (西姆松定理) 2.已知,△ABC,P是其外接圆上的任意一点. PD,PE垂直AB,AC于D,E.H是△ABC的垂心. 求证:DE平分PH. (斯泰纳－莱默斯定理) 几何图在此，大家看看，地址
要求高人给出纯几何证明方法,有的话,我会在200分的基础上再加赏100分.一定要是纯几何方法证明。
答案中有“由④→②→③→①可见A、B、P、E共圆”和“nAB2 + m AC2 =(n+m)AP2 + mn BC2/(m+n)。”这句话的通通不给分,全是抄的！贴网址的也不给分！

Answer 1

用反证法证明施泰纳－莱默斯定理①
①本文及本章后面几段阅读资料参考了贺贤孝的《证明的艺术》一书（湖南教育出版社，2000年6月第1版）．
我们知道，等腰三角形两个底角的平分线相等．反过来，有两个角的平分线相等的三角形是否为等腰三角形呢？德国柏林的莱默斯（C．L．Lemhus）研究了这个问题，并向著名几何学家施泰纳请教，1840年，施泰纳给出了第一个证明．为此，该定理称为施泰纳－莱默斯定理．
如图1所示，在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且BD＝CE．求证：AB＝AC．

如图2所示，施泰纳将△BCD与△CBE分别移到△B′C′D′和△B′C′E′的位置，连接D′E′．由BD＝CE，得B′D′＝B′E′，故∠1＝∠2．假设AB≠AC，则AB＜AC或AB＞AC．
如果AB＜AC，那么∠ACB＜∠ABC．
从而 ∠ACE＝ ∠ACB＜ ∠ABC＝∠ABD．
所以 ∠B′D′C′＝∠BDC＝∠A＋∠ABD＞∠A＋∠ACE＝∠BEC＝
∠B′E′C′，
即 ∠B′D′C′＞∠B′E′C′．
又 ∠1＝∠2，
所以 ∠3＞∠4．
所以 C′E′＞C′D′，即BE＞CD．
在△BCD与△CBE中，
BD＝CE，BC＝CB，CD＜BE，
故 ∠CBD＜∠BCE，
即 ∠ABC＜ ∠ACB，
于是∠ABC＜∠ACB，AB＞AC，与假设AB＜AC相矛盾，故AB＜AC是不可能的．
同理可证AB＞AC也是不可能的．
从而，AB＝AC．
施泰纳的参与引起了各国数学家的兴趣．100多年来，该定理的证明层出不穷．20世纪80年代美国《数学教师》杂志提出征解，结果收到了从美国、加拿大、丹麦、以色列、埃塞俄比亚和罗马尼亚寄来的2 000多封信，共提出80多种证法．不仅如此，人们更深入到它的孪生问题：如果一个三角形的两个角的外角平分线（简称外分角线）相等，那么这个三角形是否为等腰三角形？
利用代数方法，数学家们证明了如下的结论：
两外分角线相等且第三角为该三角形的最大内角或最小内角时，此三角形是等腰三角形．

参考资料：baidu

Answer 2

用反证法证明施泰纳－莱默斯定理①
①本文及本章后面几段阅读资料参考了贺贤孝的《证明的艺术》一书（湖南教育出版社，2000年6月第1版）．
我们知道，等腰三角形两个底角的平分线相等．反过来，有两个角的平分线相等的三角形是否为等腰三角形呢？德国柏林的莱默斯（C．L．Lemhus）研究了这个问题，并向著名几何学家施泰纳请教，1840年，施泰纳给出了第一个证明．为此，该定理称为施泰纳－莱默斯定理．
如图1所示，在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线，且BD＝CE．求证：AB＝AC．

如图2所示，施泰纳将△BCD与△CBE分别移到△B′C′D′和△B′C′E′的位置，连接D′E′．由BD＝CE，得B′D′＝B′E′，故∠1＝∠2．假设AB≠AC，则AB＜AC或AB＞AC．
如果AB＜AC，那么∠ACB＜∠ABC．
从而 ∠ACE＝ ∠ACB＜ ∠ABC＝∠ABD．
所以 ∠B′D′C′＝∠BDC＝∠A＋∠ABD＞∠A＋∠ACE＝∠BEC＝
∠B′E′C′，
即 ∠B′D′C′＞∠B′E′C′．
又 ∠1＝∠2，
所以 ∠3＞∠4．
所以 C′E′＞C′D′，即BE＞CD．
在△BCD与△CBE中，
BD＝CE，BC＝CB，CD＜BE，
故 ∠CBD＜∠BCE，
即 ∠ABC＜ ∠ACB，
于是∠ABC＜∠ACB，AB＞AC，与假设AB＜AC相矛盾，故AB＜AC是不可能的．
同理可证AB＞AC也是不可能的．
从而，AB＝AC．
施泰纳的参与引起了各国数学家的兴趣．100多年来，该定理的证明层出不穷．20世纪80年代美国《数学教师》杂志提出征解，结果收到了从美国、加拿大、丹麦、以色列、埃塞俄比亚和罗马尼亚寄来的2 000多封信，共提出80多种证法．不仅如此，人们更深入到它的孪生问题：如果一个三角形的两个角的外角平分线（简称外分角线）相等，那么这个三角形是否为等腰三角形？
利用代数方法，数学家们证明了如下的结论：
两外分角线相等且第三角为该三角形的最大内角或最小内角时，此三角形是等腰三角形．

Answer 3

设P为三角形ABC的边BC上一点，且BP：PC=m：n，则有
nAB2 + m AC2 =(n+m)AP2 + mn BC2/(m+n)。
注：
当m=n时，即P是BC的中点时，可得AB2 + m AC2 = 2( AP2 + BP2)，此即三角 而∠ACP+∠PCE=180°
∴∠FDP+∠PDE=180
，证明：
连接PB，PC
因为PF垂直于BC；PE垂直于AC
所以P，E，C，F四点共圆
于是角PFE=角PCE
又角PCE是圆内接四边形ABPC的外角
所以角PCE=角PBD
所以角PFE=角PBD
再由PF垂直于BC PD垂直于AB
得B，P，F，D四点共圆
则角PBD+角PFD=180
角PFE+角PFD=180
故D，E，F三点共线

△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF.
易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的补角） 且∠PDE=∠PCE
② 而∠ACP+∠PCE=180°
③ ∴∠FDP+∠PDE=180°
④ 即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、E共圆.

Answer 4

西姆松定理及其逆定理
过三角形外接圆上任一点作三边（或所在直线）的垂线，则三垂足共线；
反之，若自一点作三角形三边所在直线的垂线足共线，则该点在三角形的外接圆上.
这两个定理分别称作西姆松定理和西姆松逆定理，三垂足所在直线，称为西姆松线.

△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF.
易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的补角） 且∠PDE=∠PCE
② 而∠ACP+∠PCE=180°
③ ∴∠FDP+∠PDE=180°
④ 即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、E共圆.
回答者：zxcdert0348 - 助理 二级 10-14 20:48
1，证明：
连接PB，PC
因为PF垂直于BC；PE垂直于AC
所以P，E，C，F四点共圆
于是角PFE=角PCE
又角PCE是圆内接四边形ABPC的外角
所以角PCE=角PBD
所以角PFE=角PBD
再由PF垂直于BC PD垂直于AB
得B，P，F，D四点共圆
则角PBD+角PFD=180
角PFE+角PFD=180
故D，E，F三点共线
!!!!!!!!!1

Answer 5

西姆松定理及其逆定理
过三角形外接圆上任一点作三边（或所在直线）的垂线，则三垂足共线；
反之，若自一点作三角形三边所在直线的垂线足共线，则该点在三角形的外接圆上.
这两个定理分别称作西姆松定理和西姆松逆定理，三垂足所在直线，称为西姆松线.

△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分别连DE、DF.
易证P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分别共圆，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的补角） 且∠PDE=∠PCE
② 而∠ACP+∠PCE=180°
③ ∴∠FDP+∠PDE=180°
④ 即F、D、E共线. 反之，当F、D、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、E共圆.

设P为三角形ABC的边BC上一点，且BP：PC=m：n，则有
nAB2 + m AC2 =(n+m)AP2 + mn BC2/(m+n)。
注：
当m=n时，即P是BC的中点时，可得AB2 + m AC2 = 2( AP2 + BP2)，此即三角
形的中线定理，亦称阿波罗定理。
当AP为三角形ABC中∠A的平分线时，则由角平线的性质得m/n=AB/AC。此时BP
=ac/(b+c)，CP=ab/(b+c)。所以AP2=4bcp(p-a)/(b+c)2。

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