如何用泰勒公式证明近者物在近者光线条件下球面反射的成像公式？

Question

如何用泰勒公式证明近轴物在近轴光线条件下球面反射的成像公式

Answer 1

球面反射成像公式指出，在近者物在近者光线条件下，物体位于球面反射镜的焦点F处时，光线经过球面反射后会聚于另一焦点F'处，其成像距离可以用以下公式表示：
1/f = 1/d_o + 1/d_i
其中，f表示球面反射镜的焦距，d_o表示物体到球面反射镜的距离，d_i表示成像到球面反射镜的距离。
现在，我们将使用泰勒公式来证明这个公式。
首先，假设球面反射镜的曲率半径为R。由于近者物在近者光线条件下，可以假设物体到球面反射镜的距离非常小，可以近似为0，即d_o ≈ 0。此时，物体到球面反射镜的距离为R。
根据泰勒公式，可以将球面反射镜的曲率半径R表示为：
R = 2f - d_i + (d_i^2 / f)
其中，f表示球面反射镜的焦距。
将上式代入球面反射成像公式中，得到：
1/f = 1/d_o + 1/d_i
1/f = 1/R + 1/d_i
1/f = (2f - d_i + (d_i^2 / f))^-1 + 1/d_i
对上式进行简化和整理，得到：
d_i = (2f^2 / (2f - R)) ≈ 2f
其中，由于R远大于f，所以可以将式子近似为d_i ≈ 2f。
因此，近者物在近者光线条件下的球面反射成像公式可以简化为：
1/f = 1/R + 1/d_i
1/f ≈ 1/R + 1/2f
1/f ≈ (2f + R) / (2fR)
f ≈ R/2
这恰好是球面反射镜的焦距公式，因此证明了近者物在近者光线条件下球面反射的成像公式。