麻烦各位数学高手进来看看，这个积分如何做？

Question

如题所述

Answer 1

上半圆周是关于y轴对称的，因此可以考查x的奇偶性
注意到：xy^2[f(xy)+f(-xy)]此函数关于x是奇函数，因此积分结果为0
本题只剩下：∫ y^3 ds，（题没错吧？要是y^2就好了，y^3复杂多了）
因为曲线L是个圆，可用参数方程：x=2cost，y=2sint，ds=√(x'^2+y'^2)dt=2dt，t：0-->π
积分化为：∫ [0-->π] 8(sint)^3*(2dt)
=16∫ [0-->π] (sint)^3 dt
=-16∫ [0-->π] (sint)^2 d (cost)
=-16∫ [0-->π] (1-(cost)^2) d (cost)
=-16(cost-(1/3)(cost)^3) [0-->π]
=64/3