第2个回答 2011-05-06
所有的积分（定积分，二重积分，三重积分，曲面，曲线积分）的实质都是一种和的极限，所不同的是他们的积分范围的维数有递进关系。
定积分（积分范围） 坐标轴直线
二重积分 坐标面内的一平面
三重积分 三维闭区域
曲线积分 和定积分一样，是线，但这个线不一定在坐标轴上，是定积分的
推广，所以求解过程是化为其基础的定积分
曲面积分 和二重积分一样，是面，但这面不一定非在坐标面内，是二重积
分的推广，所以求解过程化为其基础的二重积分
从这个递进关系可以看出一点：定积分是基础，其他所有积分都能化成几次定积分来求解
那么什么是积分范围呢：他实质上相当于函数中的定义域，即积分变量所有可能和全部的取值都
要在这积分范围内。从这个意义上来说，可以去理解为什么不同的
积分，积分变量的个数不一样。如定积分：他的积分范围是一个坐标轴
上的线段，那么只用一个变量就能完全确定这个线段，如x属于(1,5)，
他能变化的量只有一个x，所以积分变量的个数为1.
再譬如空间曲面积分，他的积分范围是一个空间曲面，要描述这个面
需要三个量来描述，x，y，z。这三个量都能变动，所以空间曲面积积分
的积分变量个数为3
再说二重积分，他的范围也是个面，为什么积分变量个数不为3？因为
他这个面在坐标面内，x，y，z。肯定有一个是恒为0，不能改变。
但注意一点曲面，曲线积分能直接把积分表达式中的z用x和y的代数式直接替换，而二重积分，三重积分则不行：
二重积分是因为：两个变量x，y实质上无法准确表达一个平面，只能表达这个平面的范围，即边界线，所以在积分面域内，这两个变量实际上互不相关，单独变化。
三重积分是因为：三个变量x，y，z无法准确表达一个实心立体，只能表达这个立体的范围，即外表面，所以在积分闭区域内，这三个变量实际上互不相关，单独变化。
而曲线，曲面积分不同：他们所有可能的取值都必须在曲线上，或曲面上，所以x，y，z之间不再互不相干，必须能满足曲线或曲面的方程
对于莱布尼兹公式，格林公式，高斯公式，斯托克斯公式.一句话概括就是：高维数积分范围上的积分都可以用低维数积分范围上的积分来表示。 这个是积分学的精髓所在。
如莱布尼兹公式：定积分的积分范围是坐标轴，是线，所以结果也能用点来表示
格林公式： 二重积分的积分范围为面，属二维，所以可以用边界线上的曲线积分来表示，
坐标面内的曲线，属一维
然后你再想想高斯公式，斯托克斯公式，也一样。本回答被提问者采纳