第1个回答 2019-11-02
有。
在19世纪中期，几乎所有数学家都相信，除去某些例外的孤立点，连续函数总是可微的。那时的教科书甚至“证明”了这样的“定理”。直到数学家维尔斯特拉斯作出处处连续但处处不可导的函数例子（1875年）。
本人这里介绍一个较简单了例子：
先构造一个函数：u(x)=min(x-[x],[x+1]-x),即u(x)表示x到离它最近的整数的距离(其中[x]是高斯函数，表示不大于x的最大整数)。利用函数u，我们可以构造一个函数序列：{uk(x)}={u(4^k*x)/4^k}.(k=0,1,2,…….)
显然，函数uk(x)在R上连续，它以1/4^k为周期，且满足0<=uk(x)<=vk=1/(2*4^k),
对任意整数m，函数uk(x)在[m/4^k-1/(2*4^k),m/4^k]上函数uk(x)斜率为-1；在[m/4^k,m/4^k+1/(2*4^k)]上函数uk(x)斜率为1.
考察函数f(x)=u0(x)+u1(x)+u2(x)+……+uk(x)+……,
上式中右端函数级数是正项级数，且uk(x)<=vk=1/(2*4^k),而下项级数v0+v1+v2+……+vk+……收敛，即u0(x)+u1(x)+u2(x)+……+uk(x)+……一致收敛，从而f(x)在R上处处连续。
但可验证，f(x)在R上处处不可导。
事实上，对R上任意一点c，和任意自然数n，总相应地存在整数rn,使rn<=2*4^(n-1)*c<rn+1,也就是：
rn/(2*4^(n-1))<=c<(rn+1)/(2*4^(k-1)),从而
对任意自然数n，在区间In=[rn/(2*4^(n-1)),(rn+1)/(2*4^(n-1)))之中，存在xn,它与点c距离等于区间In长度的一半，即使得|xn-c|=1/4^n.
那么，(f(xn)-f(c))/(xn-c)
=(u0(xn)-u0(c))/(xn-c)+(u1(xn)-u1(c))/(xn-c)+……+(uk(xn)-uk(c))/(xn-c)+……。
上式中，当k>=n时，因函数uk的周期1/4^k能够整除|xn-c|,因而，(uk(xn)-uk(c))/(xn-c)=0.
而对于k<=n-1时，uk(x)在区间Ik（包含In）上斜率为-1或1
于是，(f(xn)-f(c))/(xn-c)的值为1或-1的和构成，其中1或-1的个数共有n个。即
(f(xn)-f(c))/(xn-c)与n具有相同的奇偶性，
因而，n趋向正无穷大时，(f(xn)-f(c))/(xn-c)不可能有极限。
即f(x)在任意一点c处不可导。
楼主已经看到，这里所给的处处连续而处处不可导的函数，是我所知道的函数中最简单的一种了，但也确实很繁。因此，非数学专业的学生，只要了解这种函数的存在，而不一定要会写出它的具体表达式。如果你是数学专业的学生，呵呵，不可避免地要接受这种折磨哦。^_^