怎么通过比值来判断函数的敛散性？

Question

如题所述

Answer 1

这题目用积分，导数审敛法可以方便做出，而且已有他人给出答案。我就在这里分析为何不能使用比值审敛法判断敛散性。
用比值审敛法判断，
1/n的后项比前项为1-1/(n+1);
1/n^2的为1-2/(n+1)+1/(n+1)^2;
当n趋于无穷时，上列两个式子均趋于1，按道理应该都是发散的是吧？
比值本身是项与项之间的倍率关系，而与项本身的大小无关。举个栗子:
级数1第n项是0.0001(n足够大)，第n+1项是0.0001000001，第n+2项是0.0001000001000000001，以此类推后项比前项趋于1，但它是收敛的;
级数2第n项是1000(n足够大)，第n+1项是1000.1，第n+2项是1000.1001，以此类推后项比前项趋于1，但它是发散的;
综上，
比值审敛法适用条件(未考虑复数域):
1.若比值是个常数a，a>=1时发散，a<1时收敛。(不考虑负数情况)
2.若是一个关于n的式子b，则n趋于无穷时，b趋于小于1的数时收敛，b趋于1时无法判断，b趋于大于1的数时发散。

Answer 2

现有级数∑ak。
2.1.定义判别法：如果lim（k->无穷）ak ≠0，那么级数∑ak一定发散。
（注意！不能判断lim（k->无穷）ak =0时级数的敛散性！！！）
2.2.比较判别法： lim（k->无穷）ak/bk=L,
1）如果L=无穷，当∑ak收敛，∑bk 一定收敛
2）如果L=0，当∑bk收敛，∑ak 一定收敛
3）如果0<L<无穷，∑ak,∑bk敛散性相同
2.3.级数自身项判别法：lim(k->无穷）(ak+1)/(ak）=p
1) p>1, 级数发散
2）p<1,级数收敛
3）p=1，无法判断。不能用此判别法。
3.幂级数求收敛域。
现有一个函数项级数（幂级数）∑anX^n。
用自身项判别法，收敛区间ρ<1,所以lim(n->无穷）|(an+1)(X^n+1) / (ak）(X^n)| <1，
（记得要加绝对值哦）。可以求得关于|x|的取值范围，解出即为X的收敛区间。