单调有界数列的极限 夹挤原理

Question

（1）单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性，如何求极限需用其他方法； （2）数列从某一项开始单调有界的结论依然成立，这是因为改变数列有限项不改变数列的极限。
按照课本上的说明：【单调有界定理】 在实数系中，有界的单调数列必有极限。
证明：不妨设{an}为有上界的递增数列。有确界原理，数列{an}有上确界，记为a=sup{an}
. 任给e>0，按上确界定义，存在数列中的每一项aN,使得a-e<aN,又由{an}的递增性，当n>=N时有
a-e<aN<=an
另一方面，由于a是{an}的一个上界，故对一切an都有an<=a<a+e。所以当n>=N时有
a-e<aN<=an<a+e
则有liman=a (n趋于无穷大)。同理可证有下界的递减数列必有极限，且极限为它的下确界。

这里最后一步为什么 a-e<aN<=an<a+e
则有liman=a (n趋于无穷大)

Answer 1

因为a-e<aN<=an<a+e成立的条件是当n>=N，只要n满足这个条件，都有前面的不等式成立，又e是一个任意小的正数，要多小有多小，因此当n趋于无穷大，可以认为e趋近于0.
liman=a 这只是一个极限，也就是近似的值，并不是an=a
这就是极限的思想