已知f(x)=(e的x次方-a)的平方+（e的负x次方-a）的平方（a大于等于0）

Question

将f（x）表示成ex次方+e负x次方/2的函数 求f（x）的最小值

Answer 1

令t=[e^x+e^(-x)]/2>=1
f(x)=(e^x-a)^2+(e^(-x)-a)^2
=e^2x-2ae^x+a^2+e^(-2x)-2ae^(-x)+a^2
=(e^x+e^(-x))^2-2a(e^x+e^(-x))+2a^2-2
=4t^2-4at+2a^2-2
=4(t-a/2)^2+a^2-2
当a>=2时，fmin=f(a/2)=a^2-2
当0<a<2时, fmin=f(1)=2a^2-4a+2追问

=(e^x+e^(-x))^2-2a(e^x+e^(-x))+2a^2-2
那个-2怎么来的？

追答

配方中产生的，中间项

Answer 2

令t=[e^x+e^(-x)]/2≥1
(e^x-a)²+(e^(-x)-a)²
=e^2x-2ae^x+a²+e^(-2x)-2ae^(-x)+a²
=(e^x+e^(-x))²-2a(e^x+e^(-x))+2a²
=4t²-4at+2a²
=4(t-a/2)²+a²
令g(t)==4(t-a/2)²+a²
当a≥2时，gmin=g(a/2)=a²,f(x)min=a²
当0<a<2时, gmin=g(1)=2a²-4a+4,f(x)min=2a²-4a+4

Answer 3

用均值不等式，当a,b>0时，a+b≥2√(ab),当且仅当a=b时，取得最小值2√(ab),
所以这题f（x）=e的x次+1/（e的x次×2)≥2√[e的x次×1/（e的x次×2)]=√2