高数极限等价代换

Question

高数极限等价代换这题答案说不能直接等价代换为什么啊？
第一题

Answer 1

1、加减法不可以等价代换。只有乘除中可以。即使乘除中，也还要考虑到极限存在性问题。
2、具体到本题中，如果你看过高数，你应该知道在0度到90度之间，sinx<x<tanx是恒成立的。虽然在趋近于0时他们都是x的等价无穷小，但对比起来三者的趋近速度毕竟是不同的。你不能把不同的趋近速度当一样进行处理。
3、tanx和sinx虽然都是等价x，但tanx-sinx并不是等价0，毕竟tan更大一些，事实上，tanx-sinx等价的是1/6*x^3.具体验证可参考泰勒公式。

Answer 2

注意你所谓的“等价变换”是偷换了概念，你的做法不是等价的！！因为，分子部分，如果说只有这三项的任意一项的话，完全没问题；但这是一个和，就不行了，因为和的等价形式是不知道的（除非你能证明）。事实上，根据泰勒展式，把每一项展开前几项，具体到哪一项，应考虑分母是几次方。

Answer 3

因为加减法不可以用等价无穷小，还有一个重要原因就是精确度不够，所以不能直接等价，乘法可以