如何证明圆的内接正多边形的边数越多，内接正多边形的周长越大

Question

如题所述

Answer 1

设有一个正n边形内接于半径为r的圆。
那么，基于圆心可分割成n个等腰三角形，腰长为r。
三角形的顶角=圆心角=2π/n 弧度
那么等腰三角形的每个底边=2rsin(π/n)
那么，这个正n边形的周长为：2nrsin(π/n)
n≥3；
f(x)=2xsin(π/x)=2πsin(π/x)/(π/x);
由g(x)=sin(x)，原点与图像点知sin(x)/x斜率在0到π/2是递减的；
所以n越大π/n就越小，f(x)就越大

Answer 2

证明：
设有一个正n边形内接于半径为r的圆。
那么，基于圆心可分割成n个等腰三角形，腰长为r。
三角形的顶角=圆心角=2π/n 弧度
那么等腰三角形的每个底边=2rsin(π/n)
那么，这个正n边形的周长为：2nrsin(π/n)
n≥3；
由此可看出，随着n的增大，内接正多边形的周长越大。
当n趋向于∞时，内接正多边形的周长=2nr*π/n=2πr=圆的周长。