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已知f(x)在【0,1】上具有二阶导数且f(0)=f(1)=0设F(x)=xf(x)证明：在（0,1）内方程F’’(x)=0存在实数根
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推荐答案 2013-11-08
对区间[0.1/2]和区间[1/2,1]用拉格朗日定理
F(1/2)-F(0)=1/2 F`(ξ1) ξ1属于(0,1/2)
F(1)-F(1/2)=1/2F`(ξ2) ξ2属于(1/2,1)
两式相加的F`(ξ1)+F`(ξ2)=0 则F`(ξ1)*F`(ξ2)<=0
所以F``（x）=0有实数根
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设f(x)在
[0,1]
上有二阶导数,
f(0)=f(1)=
f(0)=f(1)=0
,
证明
存在ξ∈
(0,1
...
答：
【答案】：设
F(x)=[f(x)
+
f'(x)]
e-x，由题设可知F(x)在
[0
，
1]
上连续，在
(0，1)
内可导，且
F(0)=F(1)
,由罗尔定理可知至少存在一点ξ∈(0，1)，使F'(ξ)=0，又F'(ξ)=[f'(x)+f"(x)]e-x-[f(x)+f'(x)]e-x=[f"(x)-f(x)]e-x由于e-ξ≠0，可知有f"...
若
f(x)在
〔0,1〕
上有二阶导数,且f(1)=0
,
设F(x)=
x^2f(x),
证明:在(0,1
答：
∴
F(x)
及
F'(x)在
[0,1]上也连续可导又f(0)=f(1)=0。∴F(0)=0*f(0)=0, F(1)=f(1)=0。由罗尔定理知
在(0,1)内
至少存在一点ξ1，使F'(ξ1)=0又
F'(x)=f(x)
+
xf'(x)
。
且f(0)=f(1)=0
。∴F'(0)=f(0)+0*f'(0)=0。∴F'(0)=F'(ξ1)=0。∴由罗尔定理...
f(x)在
[
0,1
]
上有二阶导数且 f(0)=f(1)=f'(0)=f'(1)=0
.
证明:
存在ξ∈(0...
答：
f(0)=f(x)
+f'(x)(-x)+f''(a)x^2/
2
f(1)=f(x)
+f'(x)(1-x)+f''(b)(1-x)^2/2 x相减得：0=f'(x)+f''(b)(1-x)^2/2-f''(a)x^2/2 |f'(x)|=|f''(b)(1-x)^2/2-f''(a)x^2/2|《0.5M((1-x)^2+x^2)现考虑g
(x)=
((1-x)^2+x^2),g...
若函数
f(x)在
[
0,1
]存在
二阶导数,且f(0)=f(1)=0
.
设F(x)=
x^2•f(x...
答：
若函数
f(x)在
[0,1]存在
二阶导数
,
且f(0)=f(1)=0
.
设F(x)=
x^2•f(x),则存在£属于
(0,1)
使F''(£)=0... 若函数f(x)在[0,1]存在二阶导数,且f(0)=f(1)=0.设F(x)=x^2•f(x),则存在£属于(0,1)使F''(£)=0 展开 1...
设函数
f(x)在
[
0,1
]
上具有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,
min
f(x)=
—1 x...
答：
记0<c<1使得f(c)＝min
f(x)＝
－1，将f(0)和f(1
)在x
＝c用Taylor展式得 存在c1，c2使得（注意
f'(
c
)＝0，
这是极值点）
f(0)＝f(
c)+f'(c
)(0
－c)+f''(c1)/2*c^2＝－1+f''(c1)/2*c^2；
f(1)＝
f(c)+f'(c
)(1
－c)+f''(c2)/2*(1－c)^2＝－1+f''(c2)/2...
f(x)在
[
0,1
]
上有二阶导数
f(0)=f(1)=0
f"(x)的绝对值≤M
答：
f(0)=f(x)
+f'(x)(-x)+f''(a)x^2/
2
f(1)=f(x)
+f'(x)(1-x)+f''(b)(1-x)^2/2 x相减得：0=f'(x)+f''(b)(1-x)^2/2-f''(a)x^2/2 |f'(x)|=|f''(b)(1-x)^2/2-f''(a)x^2/2|《0.5M((1-x)^2+x^2)现考虑g
(x)=
((1-x)^2+x^2),g...
...
有二阶导数,且f(1)=0,
若
F(x)=
x2
f(x)
,则
在(0,1)内
至少存在一点ξ,使...
答：
【答案】：由
F(x)=
x2f(x)，得
F(0)=F(1)=0
．根据题设知，
F(x)在
[0，1]上满足罗尔定理条件，故至少存在一点c∈
(0，1)
，使F'(c)=0．又F'(x)=
2xf(x)
+x2f'(x)，F'(0)=0对F'(x)在[0，c]上应用罗尔定理，则至少存在一点ξ，使F"(ξ)=0．
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