tanx的泰勒展开式：tanx=x+x^3/3+（2x^5）/15+（17 x^7）/315+（62 x^9）/2835+O[x]^11（|x|<π/2）。
泰勒公式为一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。
泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
常用的泰勒展开公式：
1、e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……。
2、ln（1+x）=x-x^2/2+x^3/3-……+（-1）^（k-1）*（x^k）/k+……（|x|<1）。
3、sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……+（-1）^（k-1）*（x^（2k-1））/（2k-1）!+……（-∞<x<∞）。
4、cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-……+（-1）k*（x^（2k））/（2k）!+……（-∞<x<∞）。
5、arcsinx=x+1/2*x^3/3+1*3/（2*4）*x^5/5+……（|x|<1）。
6、arccosx=π-（x+1/2*x^3/3+1*3/（2*4）*x^5/5+……） （|x|<1）。
anx的泰勒展开式：
tanx=x+x^3/3+(2 x^5)/15+(17 x^7)/315+(62 x^9)/2835+O[x]^11(|x|<π/2)。
泰勒公式展开在物理学应用：
物理学上的一切原理定理公式都是用泰勒展开做近似得到的简谐振动对应的势能具有x^2的形式，并且能在数学上精确求解。为了处理一般的情况，物理学首先关注平衡状态，可以认为是“不动”的情况。为了达到“动”的效果，会给平衡态加上一个微扰，使物体振动。在这种情况下，势场往往是复杂的，因此振动的具体形式很难求解。这时，Taylor展开就开始发挥威力了！
理论力学中的小振动理论告诉我们，在平衡态附近将势能做Taylor展开为x的幂级数形式，零次项可取为0，一次项由于平衡态对应的极大/极小值也为0，从二次项开始不为零。如果精确到二级近似，则势能的形式与简谐运动完全相同，因此很容易求解。这种处理方法在量子力学、固体物理中有着广泛应用。
反思一下这么处理的原因：首先，x^2形式的势能对应于简谐运动，能精确求解；其次，Taylor级数有较好的近似，x^2之后的项在一定条件下可以忽略。这保证了解的精确性。
本回答被网友采纳泰勒展开式可以将一个光滑函数表示为无穷级数的形式。基本思想是，将函数在某个点的邻域展开为多个项的和，每个项由函数在该点的导数决定。泰勒展开式在数学分析、物理学、工程学等领域有广泛的应用，用于研究和计算函数的性质和近似值。
泰勒展开式的一般形式如下：
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ...
其中，f(x)表示待近似的函数，a表示展开点，f'(a)、f''(a)等表示函数在展开点的导数，(x-a)是展开点到待近似点的差值，n!表示n的阶乘。
通过截取泰勒展开式的有限项，可以得到函数在展开点附近的近似表达式，从而用简单的多项式来近似复杂的函数。
tan(x) 的泰勒展开式可表示为：
tan(x) = x + (x^3/3) + (2x^5/15) + (17x^7/315) + ... + (Bn * x^(2n-1) / (2n-1)!) + ...
其中，Bn 是伯努利数（Bernoulli number），n 表示展开式的次数，x 表示输入值。
这里的展开式是对 x0 = 0 处展开的泰勒展开，即零点附近的展开式。展开式中的每一项都是 x 的幂次乘以一个系数，并且随着项数的增加，幂次指数和系数都会发生变化。
需要注意的是，泰勒展开式是一个无限级数，实际应用时通常只取前几项来进行近似计算，具体取多少项取决于所需的精度和计算效率。
tan(x) = x + (x^3)/3 + (2x^5)/15 + (17x^7)/315 + ...
其中，x为弧度值。
这个泰勒展开式是基于函数tanx在x=0附近的无穷次求导得到的。它表示了tanx作为一个无穷次可导函数，在x=0附近的近似表达式。每一项都是x的幂次的多项式，系数随着幂次的增加而变化。
需要注意的是，tanx的这个泰勒展开式只在x值足够接近0时有效。当x远离0时，展开式的收敛性可能会变差。因此，在计算时需要根据所需的精度和x取值范围来选择适当的展开项数。