高数中为什么一个函数可导就一定连续呢？可以用公式证明一下吗？

如题所述

推荐答案 2016-11-08

因为函数连续就是说每一点的左极限和右极限存在且相等而函数可导就暗含了这个条件所以函数可导就一定连续

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第1个回答 2016-11-08

根据可导的定义公式就能得到
f（x）在x=x0点处的导数定义公式：
f'（x0）=lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）
如果f（x）在x0点可导，则f'（x0）=lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）这个极限存在，等于一个有限常数，设为k
首先，这个定义公式中，有f（x0）存在，所以x0必须在f（x）的定义域内，如果x0不在定义域内，必然不可导。
因为lim（x→x0）（x-x0）=0
所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）{[f（x）-f（x0）]/（x-x0）}*（x-x0）
=lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]/（x-x0）*lim（x→x0）（x-x0）=k*0=0
而lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）f（x0）
因为f（x0）是常数（任何函数在某个确定点上的函数值都是常数）
所以lim（x→x0）f（x0）=f（x0）
所以lim（x→x0）[f（x）-f（x0）]=lim（x→x0）f（x）-lim（x→x0）f（x0）
=lim（x→x0）f（x）-f（x0）=0
即lim（x→x0）f（x）=f（x0）
即f（x）在x0点的极限值等于函数值，根据函数连续的定义，f（x）在x0点处连续。
所以可导必然连续。

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