第10题如何判断两个矩阵合同和相似

Question

线性代数

Answer 1

对于两个实对称矩阵，相似的充要条件是特征值相同。两个矩阵合同的条件是特征值的正负惯性指数相同（即特征值正负个数相同），所以实对称矩阵相似必然合同。
所以，你要求出A的所有特征值看看。

Answer 2

合同和相似关系并不大。
矩阵合同就是正负惯性指数相等就行（矩阵是对称的）。而相似就要求特征值必须相同，这是充要条件，不能反推哦！
我说一下相似判断吧！不能传图片，可能有点乱。
首先判断两矩阵特征值是否相等。
特征值等：判断两矩阵可否对角化 可以 对角化则相似。一个可对角化一个不对角化那么不相似。两个都不可对角化 判断两者秩是否相等 相等就相似 不等不相似。
特征值不等，连这个基础条件都不满足，直接判死刑，不相似。
判断合同：两矩阵对称且正负惯性指数相等就合同。
综上，相似比合同要求高多了。

Answer 3

判断合同的标准是有相同的正负惯性指数 即相同数量的 正负特征值。
而判断相似最有效的方法也是判断两个矩阵特征值是否相等。
从这一点看矩阵A特征值 为 4 0 0 0
矩阵B特增值 为 4 0 0 0
所以 A B 相似且合同