从任意一个数列中必可找到一个单调的子列

Question

请严格证明，并在大学数学分析知识范围内，好的追加。

Answer 1

证明:
设有序列{an},来证明存在{an}的单调子列{bn}.
1.
若{an}无界,不妨设其无上界,则可如下构造子列:
b1=a1,由于{an}无上届,故存在N使得aN>a1,记b2=aN.
同理存在aM>aN,记b3=aM.依次续行即可构造单增序列{bn}.
若{an}无下届,可按上法类似构造单减序列.
2.
若{an}有界,由于其一定有收敛子列,可以假设{an}收敛到实数A.
将数轴划分成3个区域:小于A,大于A,等于A.这3个区域中至少有一个
包含{an}中无穷多个点.
i 如果在等于A这个区间中有无穷多个点,则构造常数列bn=A即可.
ii 若有无穷多个点在小于A的区间内,则这些小于A的项可构成新数列{a'n}并且收敛到A,故不妨仍记为{an},可如下构造数列:
b1=a1,对于(A-a1)/2>0,存在N使得(A-aN)<(A-a1)/2,故aN>a1,记b2=aN,
对于(A-aN)/2>0,存在M使得(A-aM)<(A-aN)/2,故aM>aN,记b3=aM,依此续行,可得单增数列{bn}.
若有无穷多个点大于A,则同上可构造单减数列.

综上所述 命题得证

Answer 2

我想想…考虑集合A={an|对任意的N>n，有an>aN}。若A是一个无限集，那么由A中元素按下标从小到大排列就可以得到一个递减的子列，若A是个有限集，也就是说，存在一个M，使得当n>M时，an以后的项中至少有一项不小于an，那么我们就可以先取an1，n1>M，由前面的讨论知道，应该有一个n2，使得an2>=an1，这样依次下去，就得到了{an}的递增的子列了。本回答被网友采纳

Answer 3

不管怎么说都要讨论的,我见过 的这个证明本质都是要讨论的.你要是真的找到别的方法了说不定可以发论文 了