实数的完备性是什么?

Question

如题所述

Answer 1

关于实数集完备性的基本定理

一 区间套定理与柯西收敛准则
定义1 区间套: 设 是一闭区间序列. 若满足条件
ⅰ） 对 , 有 , 即 , 亦即
后一个闭区间包含在前一个闭区间中;
ⅱ） . 即当 时区间长度趋于零.
则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 .
区间套还可表达为:
.
我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列 和 , 其中 递增, 递减.
例如 和 都是区间套. 但 、
和 都不是.
区间套定理
Th7.1(区间套定理) 设 是一闭区间套. 则在实数系中存在唯一的点 , 使对 有 . 简言之, 区间套必有唯一公共点.
二 聚点定理与有限覆盖定理
定义 设 是无穷点集. 若在点 (未必属于 )的任何邻域内有 的无穷多个点, 则称点 为 的一个聚点.
数集 = 有唯一聚点 , 但 ;
开区间 的全体聚点之集是闭区间 ;
设 是 中全体有理数所成之集, 易见 的聚点集是闭区间 .
Th 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.
2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理.
Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.
三 实数完备性基本订立的等价性
证明若干个命题等价的一般方法.
本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:
Ⅰ: 确界原理 单调有界原理 区间套定理 Cauchy收敛准则
确界原理 ;
Ⅱ: 区间套定理 致密性定理 Cauchy收敛准则 ;
Ⅲ: 区间套定理 Heine–Borel 有限复盖定理 区间套定理 .
一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ).
用“确界原理”证明“单调有界原理”:
Th 2 单调有界数列必收敛 .
2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”:
Th 3 设 是一闭区间套. 则存在唯一的点 ,使对 有 .
推论1 若 是区间套 确定的公共点, 则对 ,
当 时, 总有 .
推论2 若 是区间套 确定的公共点, 则有
↗ , ↘ , .
3. 用“区间套定理”证明“Cauchy收敛准则”:
Th 4 数列 收敛 是Cauchy列.
引理 Cauchy列是有界列. ( 证 )
Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅读 . 现采用三等分的方法证明, 该证法比较直观.
用“Cauchy收敛准则” 证明“确界原理” ：
Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .
证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设 为非空有上界数集 . 当 为有限集时 , 显然有上确界 .下设 为无限集, 取 不是 的上界, 为 的上界. 对分区间 , 取 , 使 不是 的上界, 为 的上界. 依此得闭区间列 . 验证 为Cauchy列, 由Cauchy收敛准则, 收敛; 同理 收敛. 易见 ↘. 设 ↘ .有 ↗ .
下证 .用反证法验证 的上界性和最小性.
“Ⅱ” 的证明:
用“区间套定理”证明“致密性定理”:
Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.
证 （ 突出子列抽取技巧 ）
Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.
2．用“致密性定理” 证明“Cauchy收敛准则” ：
Th 4 数列 收敛 是Cauchy列.
证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy列有界 有收敛子列 验证收敛子列的极限即为 的极限.
“Ⅲ” 的证明:
用“区间套定理”证明“Heine–Borel 有限复盖定理”:
用“Heine–Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”: