如何求∫xcos^2xdx？

Question

如题所述

Answer 1

∫xcos^2xdx 的积分可以使用换元积分法和分部积分法进行求解。
方法一：换元积分法
令 u = xcosx, du = (cosx - xsinx) dx，那么：
∫xcos^2xdx = ∫u^2/(u^2 + sin^2x) du
= ∫(u^2 + sin^2x - sin^2x)/(u^2 + sin^2x) du
= ∫(1 - sin^2x/(u^2 + sin^2x)) du
= ∫1 du - ∫sin^2x/(u^2 + sin^2x) du
= u - ∫sin^2x/(u^2 + sin^2x) du
然后，对 ∫sin^2x/(u^2 + sin^2x) du 进行换元积分，令 v = u/sin^2x，dv = (cos^2x - 2u/(sin^2x)^2) du，那么：
∫sin^2x/(u^2 + sin^2x) du = ∫1/(v^2 + 1) dv
= arctan v + C
将 u 和 v 代入上式，得到：
∫xcos^2xdx = xcosx - ∫sin^2x/(u^2 + sin^2x) du
= xcosx - arctan(u/sin^2x) + C
= xcosx - arctan(xcosx/sin^2x) + C
方法二：分部积分法
令 u = x, dv = cos^2xdx，那么：
∫xcos^2xdx = ∫u dv
= uv - ∫v du
= xcosx - ∫cos^2xdx
= xcosx - ∫(1 + cos2x)/2 dx
= xcosx - (x/2) - ∫cos2x/2 dx
= xcosx - (x/2) - (1/4)∫(cos4x + cos2x)/2 dx
= xcosx - (x/2) - (1/8)∫cos4x dx - (1/8)∫cos2x dx
= xcosx - (x/2) - (1/32)sin4x - (1/16)sin2x + C
= xcosx - (x/2) - (1/16)(sin2x - cos2x) + C
= xcosx - (x/2) - (1/16)sin2x + (1/16)cos2x + C
因此，∫xcos^2xdx = xcosx - (x/2) - (1/16)sin2x + (1/16)cos2x + C.

Answer 2

本题是不定积分基本练习题，具体步骤如下:
∫ⅹcos^2xdx
=∫x(1+cos2x)dx/2
=(1/2)∫xdx+(1/2)∫xcos2xdx
=(1/2)*(1/2)*x^2+(1/4)∫ⅹcos2xd2x
=(1/2)*(1/2)*x^2+(1/4)∫ⅹdsin2x
=(1/4)ⅹ^2+(1/4)ⅹsin2x-(1/4)∫sin2xdx
=(1/4)ⅹ^2+(1/4)ⅹsin2x-(1/8)∫sin2xd2x
=(1/4)ⅹ^2+(1/4)ⅹsin2x+(1/8)cos2x十C。
本题主要用到分部积分法和三角函数的求导公式。

Answer 3

∫xcos^2xdx
=0.5∫x （1+cos2x）dx
=0.5∫（x +x cos2x）dx
=0.25 x^2 +C_1 +0.5∫ x cos2x dx
=0.25 x^2 +C_1 +0.25x sin 2x + 0.125 cos2x + C_2
=0.25 x^2 +0.25x sin 2x + 0.125 cos2x + C(其中C为常数)