线性代数题： 设A是n阶实数矩阵,若对所有n维向量X,恒有X^TAX=0,证明：A为

Question

线性代数题：
设A是n阶实数矩阵,若对所有n维向量X,恒有X^TAX=0,证明：A为反对称矩阵
想问一下答案中画线那步是怎么得出来的

Answer 1

兄弟，你是不是对A+(A)^T是实对称矩阵有疑问？如果是的话，A+(A)^T确实是实对称矩阵，因为(A+(A)^T)^T=(A^T+A)所以为实对称矩阵追问

我是想问为什么是实对称矩阵他就等于零了

追答

如果是你这个问题的话这样解释你看看懂不懂，这里我先用个方阵M，因为X^TMX是一个二次型，如果M是实对称矩阵，那么M一定可以对角化，即存在P，P^(-1)MP=N，而且进一步满足P^TMP=N,那么有一个正交变换M=Cy，C可逆（B=C^TMC（B和M合同）），使得f=X^TMX=(Cy)^TMCy=y^TBy,假设这个正交变化把f变为标准型，那么X^TMX=0也就是这个新的标准型等于零，新的标准型形式也就是k1y1^2+k2y2^2+……+knyn^2=0，因为你说的题设中X为任意的列向量，也就是对任意的Y也满足k1y1^2+k2y2^2+……+knyn^2=0,也就满足k1=k2=……=kn=0，所以R（B）=0因为M与B合同，那么满足秩相等，所以R（M）=0，所以M为0矩阵，这里M为实对称矩阵，换成你题目中的A+(A)^T就OK了。
兄弟我都是自己码的字，亲苦了一下