第一型曲线积分问题，高等数学内容，拜托了

Question

如题所述

Answer 1

rr=xx+yy+zz，
其中xx+yy=RR，
所以rr=RR+zz，
把曲面S分成左右两部分，
左边的是y=-√RR-xx，
右边的是y=+√RR-xx。

以左边的为例，计算如下：
dS左=√1+(y ' x)^2+(y ' z)^2dxdz
=Rdxdz/√RR-xx，
S左在xoz面的投影区域是矩形区域Dxz：-R《x《R，0《z《H，
化成二重积分
=∫〔-R到R〕dx∫〔0到H〕R/【（RR+zz）√RR-xx】*dz
=R∫〔-R到R〕【1/√RR-xx】dx∫〔0到H〕【1/(RR+zz)】dz
=R*π*(1/R)arctan(H/R)
=πarctan(H/R)。

用同样的方法求出在S右的积分，然后二者相加即为所求。

另，如图中解法，把S分成前后两部分，同理可求。