高数中第一型曲线积分和第二型曲线积分有什么区别

Question

如题所述

Answer 1

1、是否与方向有关

尽管它们都是沿着曲线的积分，但第一型曲线积分的与方向无关，第二型曲线积分的与方向有关。

2、物理意义不同

第一型曲线积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲线，计算该曲线的质量。第二型曲线积分的物理背景是变力沿曲线做功，求的是功。

3、定义不同

设函数f（x）定义在平面有向可求长度曲线L上，对L的任意分割T，它把L分成n个小弧段：L1...Ln在每个小曲线段上任取一点（x，y），若极限存在，且与分割T和点（x，y）的取法无关，则称此极限为函数f（x）沿有向曲线L上的第一型曲线积分。

设函数P(x，y)，Q(x，y)定义在平面有向可求长度曲线L上，对L的任意分割T，它把L分成n个小弧段：L1...Ln在每个小曲线段上任取一点（x，y），若极限存在，且与分割T和点的取法无关，其中T是各小弧段长度的最大值，则称此极限为函数P(x，y)，Q(x，y)沿有向曲线L上的第二型曲线积分。

扩展资料

的第一型曲线积分应用下面给出二个常用的应用。

1) 空间曲线L的重心坐标为

2)曲线L绕z轴(x, y轴)的转动惯量是

参考资料来源：百度百科—第一型曲线积分

参考资料来源：百度百科—第二型曲线积分

Answer 2

1.两类曲面积分之间的联系类似于两类曲线积分之间的联系.
对于平面曲线积分,若曲线闭合,在满足格林公式的条件下,可以转化为闭曲线L所围的平面闭区域D上的二重积分,转化公式请参见高等数学课本.
对于空间曲线积分,若曲线闭合,在满足斯托克斯公式的条件下,可以转化为以闭曲线Γ为边界的曲面积分,转化公式请参见高等数学课本.
在有的时候,空间曲线积分是可以经过化简转化成平面曲线积分,然后再利用格林公式计算,将大大简化计算量.比如说：∫Pdx+Qdy+Rdz,如果曲线Γ为x平方+y平方=9,z=6,那么沿着这个曲线积分,由于z是常数不变,所以dz=0,因此上式∫Pdx+Qdy+Rdz可以转化为：∫Pdx+Qdy,
这样便大大简化了计算量,因为格林公式要比斯托克斯公式形式上简单一些.
2.对于曲面积分,就是曲面的单位法向量n=(cosα,cosβ,cosγ)
第二类曲面积分∫∫Pdx+Qdy+Rdz=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS,其中,dS就是曲面的面积元素.
dS的求法：如果曲面方程为f(x,y,z)=0,曲面投影到yoz面,那么要从曲面方程f(x,y,z)=0中,解出
x对y的偏导数和x对z的偏导数,然后代入dS公式中即可.
曲面法向量的求法：把曲面方程看作是某一个三元函数的梯度,那么求出这个三元函数的梯度,
然后再确定一下曲面的侧,就得到了曲面的法向量,再将其单位化即可.
3,最后要注意的是,在曲线、曲面积分中,一定要将求得的切向量和法向量单位化,才能代入积分式中.还有就是,在求方向导数的时候,向量也必须单位化后,才能带入方向导数的公式中.

Answer 3

一类曲线是对曲线的长度，二类是对x,y坐标。怎么理解呢？告诉你一根线的线密度，问你线的质量，就要用一类。告诉你路径曲线方程，告诉你x,y两个方向的力，求功，就用二类。二类曲线也可以把x,y分开，这样就不难理解一二类曲线积分之间的关系了，它们之间就差一个余弦比例。
一二类曲面积分也是一样的。一类是对面积的积分，二类是对坐标的。告诉你面密度，求面质量，就用一类。告诉你x,y,z分别方向上的流速，告诉你面方程，求流量，就用第二类。同理，x,y,z方向也是可以分开的，分开了也就不难理解一二类曲面积分的关系了。
你要把以上两点都能理解的话，再去看高斯公式与流量，斯托克斯公式与旋度，这两个是线面体积分转化的两个公式，都理解了就没问题了。
学积分，重要的就是要理解：积分就等于是求积（乘法的积）。积分就是乘法。因为变量在连续变化，我不能直接乘，所以有了微积分来微元了再乘。一类线面积分就是函数和线面乘，二类线面积分就是函数和坐标乘。
不理解了，大家共同探讨。
以上仅代表个人观点。

Answer 4

高等数学中的第一型曲线积分与第二型曲线积分之间的关系
顺便补充几个知识点：
1.两类曲面积分之间的联系类似于两类曲线积分之间的联系.
对于平面曲线积分,若曲线闭合,在满足格林公式的条件下,可以转化为闭曲线L所围的平面闭区域D上的二重积分,转化公式请参见高等数学课本.
对于空间曲线积分,若曲线闭合,在满足斯托克斯公式的条件下,可以转化为以闭曲线Γ为边界的曲面积分,转化公式请参见高等数学课本.
在有的时候,空间曲线积分是可以经过化简转化成平面曲线积分,然后再利用格林公式计算,将大大简化计算量.比如说：∫Pdx+Qdy+Rdz,如果曲线Γ为x平方+y平方=9,z=6,那么沿着这个曲线积分,由于z是常数不变,所以dz=0,因此上式∫Pdx+Qdy+Rdz可以转化为：∫Pdx+Qdy,
这样便大大简化了计算量,因为格林公式要比斯托克斯公式形式上简单一些.
2.对于曲面积分,就是曲面的单位法向量n=(cosα,cosβ,cosγ)
第二类曲面积分∫∫Pdx+Qdy+Rdz=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS,其中,dS就是曲面的面积元素.
dS的求法：如果曲面方程为f(x,y,z)=0,曲面投影到yoz面,那么要从曲面方程f(x,y,z)=0中,解出
x对y的偏导数和x对z的偏导数,然后代入dS公式中即可.
曲面法向量的求法：把曲面方程看作是某一个三元函数的梯度,那么求出这个三元函数的梯度,
然后再确定一下曲面的侧,就得到了曲面的法向量,再将其单位化即可.
3,最后要注意的是,在曲线、曲面积分中,一定要将求得的切向量和法向量单位化,才能代入积分式中.还有就是,在求方向导数的时候,向量也必须单位化后,才能带入方向导数的公式中.本回答被提问者和网友采纳