fx在有理数域上可约,一定有实数根吗

Question

如题所述

Answer 1

没有实根。

f(x)=(x^2+1)(x^2+2)，f(x)显然可约（已经知道有2个二次因子），但是没有实根 。若整系数多项式f(x)的系数互素，则称f (x)是一个本原多项式。

例如: f(x)= 3x?+6x-4,g(x )=5x2+1是本原多项式。本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多项式，但相乘之后必是本原多项式。

完备性：

所有实数的柯西序列都有一个实数极限。有理数集并非拓扑完备，例如 (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, …) 是有理数的柯西序列却没有有理数极限。

但它却有个实数极限 √2。实数集是有理数集的空备化——这亦是其中一个构作实数集的方法。极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧几里得几何的直线没有“空隙”。