矩阵合同的性质是？ 还有，矩阵若相似就一定合同么？？？ 求大神们解答，，，，

Question

如题所述

Answer 1

矩阵合同的性质：

1、反身性：任意矩阵都与其自身合同；

2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A；

3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C；

4、合同矩阵的秩相同。

矩阵若相似就一定合同。在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中。二次型用的矩阵是实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。

扩展资料：

矩阵合同的主要判别法：

1、设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。

2、设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。

Answer 2

矩阵合同的性质是？ 还有，矩阵若相似就一定合同么？？？ 求大神们解答，，
答：
以下依网文整理，没有进行严格证明分析，仅供参考。

命题一：
实对称矩阵A相似于实对角阵B；那么A合同于B.
简言之：两实对称矩阵相似，一定合同.
　　注：实对称矩阵，即满足A'=A的矩阵A。
　　实对称矩阵之间的相似，称为正交相似，相应的变换矩阵为正交矩阵。
　　正交相似变换矩阵P，P^(-1)=P'，P既是相似变换也是合同变换。这里P'表P的转置。
证：
T'AT=diag{x1,x2,...,xn}（x1,...,xn为A的特征值）
Q'BQ=diag{y1,y2,...,yn}（y1,...,yn为B的特征值）
注：以上是说，实对称矩阵必定合同于对角阵。
由于A和B相似，故可令xi=yi
=>T'AT=Q'BQ（T和Q均为正交阵）
=>(Q')^(-1)*左侧*Q^(-1)=[TQ^(-1)]'ATQ^(-1)=(Q')^(-1)*右侧*Q^(-1)=B
令C=TQ^(-1)，上式即C'AC=B，且C可逆，故A合同于B。

更强的命题——谱分解定理：实对称矩阵正交相似于对角阵。
　　注：也就是说如果A是实对称矩阵，不仅存在可逆阵P使得D=P^{-1}AP是对角阵，而且还可以要求P是正交阵
　　注：上面讲了，对于实对称矩阵，相似一定合同。此时，可 用正负惯性指数（此时分别等于正负特征 值重数之和）衡量合同性。而在非对称矩 阵情形下，不能用正负惯性指数判别合同 性，且相似合同无直接联系。

命题二：
实对称矩阵A和B合同，不能推出A,B相似，即合同不一定相似。
例如：对角矩阵diag(3,3,3)合同于单位矩阵，而单位矩阵只能和单位矩阵相似。

综述：
相似不一定合同，合同不一定相似；
实对称矩阵相似一定合同，合同不一定相似。追问

谢谢啊，，，
非常感谢

追答

外则：
合同－相似－等价
合同是一种等价关系；相似也是一种等价关系。

参考：龚升《线性代数五讲》摘
相似关系：一个有限维向量空间上，同一个线性算子在不同的基下所对应的矩阵之间的关系。
相合关系（合同关系）：一个有限维向量空间上，同一个双线性形式在不同基下所对应的矩阵之间的关系。
等价关系（等秩关系）：两个有限维向量空间之间的线性变换，在这两个向量空间的各自取定的基下所对应的矩阵之间的关系。

追问

嗯嗯，赞，我是新手。刚开始就碰到这么热情的，嘿嘿，只能赞啦！

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