我这有，还有题，你看怎样
第五章 动量 第一单元 动量、冲量 动量定理
二. 知识要点：
1. 考点目标
动量定理和动量守恒定律的应用只限于一维的情况
概述：本章内容包括动量和冲量两个基本概念及动量定理和动量守恒定律两条基本规律。冲量是力对时间的累积，是过程量；动量是物体机械运动量的量度，是状态量。动量定理表明了力对时间的累积效应使物体的动量发生改变。物体在相互作用时物体间有动量的传递，但在系统外力的冲量为零时，物体系统的总动量将不改变，即动量守恒。动量守恒定律比牛顿运动定律的适用范围更广泛，是自然界普遍适用的基本规律之一。
由于应用动量守恒定律解决的问题过程较复杂，又常常跟能量守恒综合考查，使得应用动量守恒定律求解的题目难度较大，加之动量定理、动量守恒定律都是矢量方程，这也给应用这些规律解决问题增加了难度。所以，本章也是高中物理复习的难点之一。
本章知识可分两个单元组织复习：
（1）动量和冲量，动量定理
（2）动量守恒定律
三. 知识点：
1. 动量
（1）定义：运动物体的 叫做动量，动量的单位： 。
（2）物体的动量表征物体的运动状态，其中的速度为瞬时速度，通常以地面为参考系。
（3）动量是 量，其方向与 的方向相同。两个物体的动量相同必须是大小相等，方向相同。
（4）注意动量与动能的区别和联系：动量、动能和速度都是描述物体运动的状态量，动量是矢量，动能是标量，动量和动能的关系是：p2=2mEk。
2. 动量的变化量
（1）ΔP=
（2）动量的变化量是矢量，共方向与速度变化的方向相同，与合外力冲量的方向相同，跟动量的方向无关。
（3）求动量变化量的方法：①ΔP= ＝mvt－mv0；②
3. 冲量
（1）定义： ，叫做该力的冲量，I= ，冲量的单位： 。
（2）冲量是过程量，它表示力在一段时间内的累积作用效果。
（3）冲量是 量，其方向由力的方向决定。如果在作用时间内力的方向不变，冲量的方向就与力的方向相同。
（4）求冲量的方法：① I＝Ft（适用于求恒力的冲量），②ΔP= 。
4. 动量定理
（1）物体所受 ，等于这个物体动量的 ，这就是动量定理。
表达式为：Ft= 或Ft＝
（2）动量定理的研究对象是单个物体或可视为单个物体的系统。当研究对象为物体系时，物体系总动量的增量等于相应时间内物体系所受的合外力的冲量。所谓物体系总动量的增量是指系统内各物体的动量变化量的矢量和。所谓物体系所受的合外力的冲量是指系统内各物体所受的一切外力的冲量的矢量和，而不包括系统内部物体之间的相互作用力（内力）的冲量；这是因为内力总是成对出现的，而且它们的大小相等、方向相反，其矢量和总等于零。
（3）动量定理公式中的F是研究对象所受的包括重力在内的所有外力的合力。它可以是恒力，也可以是变力。当合外力为变力时，F应该是合外力对作用时间的平均值。
说明：
① 在打击和碰撞问题中，物体之间的相互作用力的量值很大，变化很快，作用时间短，这种作用力通常叫冲力，冲力的本质是弹力。
② 当冲力比其他力大得多时，可以忽略其他力，把冲力作为公式中的F，但是我们必须清楚这只是一种近似的处理方法。
③ 从物理意义上讲，公式中的F应该是合力，而不是冲力。
（4）动量定理公式中的FΔt是合外力的冲量，也可以是外力冲量的矢量和，是使研究对象动量发生变化的原因。在所研究的物理过程中，如果作用在研究对象上的各个外力的作用时间相同，求合外力的冲量时，可以先按矢量合成法则求所有外力的合力，然后再乘以力的作用时间；也可以先求每个外力在作用时间内的冲量，然后再按矢量合成法则求所有外力冲量的矢量和；如果作用在研究对象上的各个力的作用时间不相同，就只能求每个力在相应时间内的冲量，然后再求所有外力冲量的矢量和。
（5）动量定理中mv2－mvl是研究对象的动量增量，是过程终态动量与初态动量的差值（矢量减法）。式中“一”号是运算符号，与正方向的选取无关。
（6）动量定理中的等号（＝），表明合外力的冲量与研究对象的动量增量的数值相等，方向一致，单位相同，但绝不能认为合外力的冲量就是动量的增量。合外力的冲量是引起研究对象的运动状态改变的外来因素，而动量的增量则是研究对象受外力冲量后所导致的必然结果。
（7）FΔt=Δmv是矢量式，在应用动量定理时，应该遵循矢量运算的平行四边形法则。也可以采用正交分解法，把矢量运算转化为标量运算。假设用Fx（或Fy）表示合外力在x（或y）轴上的分量， （或 ）和vx（或vy）表示物体的初速度和末速度在x（或y）轴上的分量，则FxΔt＝
FyΔt＝
上述两式表明，合外力的冲量在某一坐标轴上的分量等于物体动量的增量在同一坐标轴上的分量。在写动量定理的分量方程式时，对于已知量，凡是与坐标轴正方向同向者取正值，凡是与坐标轴正方向反向者取负值；对未知量，一般先假设为正方向，若计算结果为正，说明实际方向与坐标轴正方向一致，若计算结果为负，说明实际方向与坐标轴正方向相反。
（8）根据F＝ma得
F＝ma＝m ＝ ，即F＝ 。
这是牛顿第二定律的另一种表达形式；合外力F等于物体动量的变化率 。
5. 用动量定理解释现象
用动量定理解释的现象一般可分为两类：
一类是物体的动量变化一定，此时力的作用时间越短，力就越大；时间越长，力就越小；另一类是作用力一定，此时力的作用时间越长，动量变化越大；力的作用时间越短，动量变化越小，分析问题时，要把哪个量变化搞清楚。
四. 疑难解析：
1. 指的是动量的变化量，不要理解为是动量，它的方向可以跟初动量的方向相同（同一直线，动量增大）；可以跟初动量的方向相反（同一直线，动量减小）；也可以跟初动量的方向成某一角度，但动量变化量（ ）的方向一定跟合外力的冲量的方向相同。
2.（1）应用动量定理I＝Δp求变力的冲量：如果物体受到大小或方向改变的力的作用，则不能直接用Ft求变力的冲量，而应求出该力作用下物体动量的变化Δp等效代换变力的冲量I。例如质量为m的小球用长为r的细绳的一端系住，在水平光滑的平面内绕细绳的另一端做匀速圆周运动，速率为v，周期为T，向心力F＝m 。在半个周期的冲量不等于m ，因为向心力是个变力（方向时刻在变）。因为半个周期的始、末线速度方向相反，动量的变化量是2mv，根据动量定理可知，向心力在半个周期的冲量大小也是2mv，方向与半个周期的开始时刻线速度的方向相反。
（2）应用Δp＝F•Δt求恒力作用下的曲线运动中物体动量的变化；在曲线运动中，速度方向时刻在变化，求动量的变化（Δp＝p2－p1）需要应用矢量运算方法，比较麻烦，如果作用力是恒力，可以求出恒力的冲量等效代换动量的变化。如平抛运动中动量的变化问题。
五. 思考讨论：
以初速度 平抛出一个质量为m的物体，求抛出后t秒内物体的动量变化。
3. 用动量定理解题的基本思路
（1）明确研究对象和研究过程。研究对象可以是一个物体，也可以是几个物体组成的系统。系统内各物体可以是保持相对静止的，也可以是相对运动的．研究过程既可以是全过程，也可以是全过程中的某一阶段。
（2）进行受力分析。只分析研究对象以外的物体施给研究对象的力．所有外力之和为合外力。研究对象内部的相互作用力（内力）会改变系统内某一物体的动量，但不影响系统的总动量，因此不必分析内力。如果在所选定的研究过程中的不同阶段中物体的受力情况不同，就要分别计算它们的冲量，然后求它们的矢量和。
（3）规定正方向。由于力、冲量、速度、动量都是矢量，在一维的情况下，列式前要先规定一个正方向，和这个方向一致的矢量为正，反之为负。
（4）写出研究对象的初、末动量和合外力的冲量（或各外力在各个阶段的冲量的矢量和）。
（5）根据动量定理列式求解。
【典型例题】
[例1]“蹦极”是一项勇敢者的运动，如图1所示，某人用弹性橡皮绳拴住身体自高空P处自由下落，在空中感受失重的滋味．若此人质量为60 kg，橡皮绳长20 m，人可看成质点，g取10 m／s2，求：
（1）此人从点P处由静止下落至橡皮绳刚伸直（无伸长）时，人的动量为 ；
（2）若橡皮绳可相当于一根劲度系数为100 N／m的轻质弹簧，则此人从P处下落到
m时具有最大速度；
（3）若弹性橡皮绳的缓冲时间为3 s，求橡皮绳受到的平均冲力的大小。
图1
解析：
（1）人从高空落下，先在重力作用下做自由落体运动，弹性橡皮绳拉直后除受到重力外还受到橡皮绳的弹力F作用。他做自由落体运动的时间为t1＝ ＝ ＝2s
他做自由落体运动的末速度为 v＝gtl＝20 m／s
此时他的动量为p＝mv＝1 200 kg•m／s
（2）当他到达平衡位置时，速度最大，则 kx＝mg
解得平衡位置时橡皮绳伸长量为x＝6m，他从P处下落了26 m。
（3）对人从开始下落到速度减为零的全过程，又由动量定理得
mg（t1+t2）一Ft2＝0
解得：F＝1000 N
根据牛顿第三定律得，橡皮绳受到的平均冲力大小为1000 N。、
深化拓展：
参照本例试分析：
（1）在“跳高”和“跳远”的比赛中，运动员为什么要落在沙坑中?
（2）“跳伞”运动员着地时，为什么要有“团身”动作?
（3）在球类项目的体育课上，传球和接球时为什么要有缓冲动作?
说明：上面问题中通过延长动量变化时间减小作用力，通过计算可以看出这种缓冲作用的效果很明显。这也就是杂技演员、高空作业的工人、高速行驶的驾驶员和前排乘客要扣安全带的道理。
[例2] 两物体质量之比为，ml:m2＝4:1，它们以一定的初速度沿水平面在摩擦力作用下做减速滑行到停下来的过程中：
（1）若两物体的初动量相同，所受的摩擦力相同，则它们的滑行时间之比为 ；
（2）若两物体的初动量相同，与水平面间的动摩擦因数相同，则它们的滑行时间之比为 ；
（3）若两物体的初速度相同，所受的摩擦力相同，则它们的滑行时间之比为 ；
（4）若两物体的初速度相同，与水平面间的动摩擦因数相同，则它们的滑行时间之比为 。
解析：
（1）由动量定理得
由于Ff和p均相同，所以tl:t2＝1:1
（2）由动量定理得
由于p、 均相同，所以t与m成反比，故t1:t2＝m2:ml=1:4
（3）由动量定理得
由于Ff、v均相同，所以t与m成正比，故tl:t2=m1:m2=4:1
（4）由动量定理得
由于 、v均相同，所以t1:t2＝1:1
说明：（1）对于这种涉及时间的动力学问题，利用动量定理分析往往比较方便，请同学们注意体会。
（2）求解比例问题时，一般是推导出所求物理量与其他物理量的关系式，再求比例。求比例时，要特别注意表达式中哪些物理量是不变的，哪些物理量是变化的。
[例3] 高压采煤水枪出水口的截面积为S，水的射速为v，射到煤层上后，水速度为零。若水的密度为ρ，求水对煤层的冲力。
解析：从水枪中射出的水是连续的，这样对解题极为不便，为使连续的水像物体一样，我们可以取一小段时间的水进行研究．射到煤层上的水，在较短时间速度变为零，煤一定对水（水为研究对象）产生了力的作用，此力为变力，因此可以由动量定理来求出煤对水的平均作用力，即冲力，由牛顿第三定律就知道水对煤的作用力。
由水流算出Δt内水的质量，以Δt时间内的水为研究对象，由动量定理列方程，求煤对水的力，再由牛顿第三定律求水对煤的力。
设在Δt时间内，从水枪射出的水的质量为Δm，则Δm＝ρSvΔt．以Δm为研究对象，它在Δt时间内动量变化为；Δp＝Δm（0一v）＝一ρSv2Δt
设FN为水对煤层的冲力，FN'为煤层对水的反冲力，以FN’的方向为正方向，根据动量定理（忽略水的重力）有： Δt＝Δp＝一ρSv2Δt
解得：FN’＝一ρSv2
根据牛顿第三定律知FN＝一FN’，所以 FN＝ρSv2
说明：这是一类变质量（或连续流体）问题，对这类问题的处理，一般要选取一段时间的流体为研究对象，然后表示出所选研究对象的质量，分析它的受力及动量的变化，根据动量定理列方程求解。
深化拓展：
国产水刀——超高压数控万能水切割机以其神奇的切割性能在北京国际展览中心举行的第五后国际机床展览会上引起轰动，它能切割40 mm厚的钢板、50 mm厚的大理石等材料。
水刀就是将普通的水加压，使其从口径为0.2 mm的喷嘴中以800 m／s～1 000 m／s的速度射出的水射流。我们知道，任何材料承受的压强都有一定限度，下表列出了一些材料所能承受的压强限度。
设想有一水刀的水射流横截面积为S，垂直入射的速度v＝800m／s，水射流与材料接触后，速度为零，且不附着在材料上，水的密度ρ＝1×103kg／m3，则此水刀不能切割上述哪些材料?
[例4] 如图2所示，p为位于某一高度处的质量为m的物块，B为位于水平地面上的质量为M的特殊长平板，m／M＝1／10，平板与地面间的动摩擦因数为μ＝2.00×10—2。在板的上表面上方，存在一定厚度的“相互作用区域”，如图中画虚线的部分。当物块P进入相互作用区时，B便有竖直向上的恒力f作用于p，f＝amg，a＝5l，f对p的作用使p刚好不与B的上表面接触；在水平方向p、B之间没有相互作用力。已知物块p开始自由落下的时刻，板B向右的速度为v0＝10.0 m／s。P从开始下落到刚到达相互作用区所经历的时间为T0＝2.00 s。设B板足够长，保证物块p总能落入B板上方的相互作用区，取重力加速度g=9.80m／s2。问：当B开始停止运动那一时刻，p已经回到过初始位置几次?
图2
解析：由于P刚好不与B的上表面接触，P下落时先做自由落体运动，它进入相互作用区后做匀减速运动，速度减小到零再返回，返回时与下落时受力情况完全相同，所以，p刚好能回到初始位置。p从开始下落到返回原处的时间内，设恒力f作用的时间为Δt，则重力作用时间为：2To+Δt，P在该过程所受合外力总冲量为零，即 fΔt一mg（2To+Δt）＝0
由f＝amg得：Δt＝0.08 s
恒力f作用的时间木板受摩擦力的大小为f’＝μ（Mg+amg）
p不在相互作用区的时间内木板受摩擦力的大小为f0＝μMg
对木板应用动量定理
fo•2To＋f’•Δt＝M•Δv
即μMg•2 +μ（Mg+amg）•Δt＝ Δv
得：Δv＝0.88 m／s
n＝ ＝11.38，取整数为：N＝11次
说明：
（1）分析该问题时要抓住过程周期性的特点．
（2）注意物块P从开始下落到返回原高度一周期内，物块p在相互作用区的时间和不在相互作用区的时间内，B板的受力情况不同，决定了它的运动的情况不同。
【模拟试题】（答题时间：50分钟）
1. 下列各种说法中，不能够成立的是（ ）
A. 某一段时间内物体动量的增量不为零，而其中某一时刻物体的动量可能为零
B. 某一段时间内物体受到的冲量为零，而其中某一时刻物体的动量可能不为零
C. 某一段时间内物体受到的冲量不为零，而动量的增量为零
D. 某一时刻物体的动量为零，而动量对时间的变化率不为零
2. 质量为5kg的物体，它的动量对时间的变化率保持不变为2 kg•m／s2，则（ ）
① 该物体一定做匀速运动
② 该物体一定做匀变速直线运动
③ 该物体在任意相等的时间内所受合外力的冲量一定相同
④ 无论物体运动轨迹如何，它的加速度一定是0.4 m／s2
以上结论正确的是（ ）
A. ①④ D. ②③ C. ③④ D. ②④
3. 质量不等的两个物体静止在光滑的水平面上，两物体在外力作用下，获得相同的动能。下面的说法中正确的是（ ）
A. 质量小的物体动量变化大
B. 质量大的物体受的冲量大
C. 质量大的物体末动量小
D. 质量大的物体动量变化率一定大
4. 沿同一直线，甲、乙两物体分别在阻力Fl、F2作用下做直线运动，甲在t1时间内，乙在t2时间内动量p随时间t变化的P—t图象如图1所示。设甲物体在t1时间内所受到的冲量大小为I1，乙物体在t2时间内所受到的冲量大小为I2，则两物体所受外力F及其冲量I的大小关系是（ ）
A. F1>F2，Il＝I2 B. F1<F2，I1<I2
C. Fl>F2，I1>I2 D. Fl=F2，Il＝I2
图1
5. 物体A初动量大小是7.0kg•m／s，碰撞某物体后动量大小是4.0 kg•m／s。那么物体碰撞过程动量的增量Δp的大小范围是 。
6. 如图2所示，两个质量相等的物体在同一高度沿倾角不同的两个光滑斜面由静止自由滑下，到达斜面底端的过程中，两个物体具有的相同物理量是（ ）
A. 重力的冲量
B. 弹力的冲量
C. 刚到达底端时的动量
D. 合力的冲量大小
图2
7. 质量为m的小球从h高处自由下落，与地面碰撞时间为Δt，地面对小球的平均作用力为F。取竖直向上为正方向，在与地面碰撞过程中（ ）
A. 重力的冲量为mg（ +Δt）
B. 地面对小球作用力的冲量为F•Δt
C. 合外力对小球的冲量为（mg+F）•Δt
D. 合外力对小球的冲量为（mg－F）•Δt
8.（2004年广东，14）一质量为m的小球，以初速度 沿水平方向射出，恰好垂直地射到一倾角为30º的固定斜面上，并立即反方向弹回。已知反弹速度的大小是入射速度大小的 ，求在碰撞中斜面对小球的冲量大小。
9. 如图3，质量分别为mA、mB的木块叠放在光滑的水平面上，在A上施加水平恒力F，使两木块从静止开始做匀加速运动，A、B无相对滑动，则经过ts，木块A所受的合外力的冲量为 ，木块B的动量的增量Δp为 。
图3
10. 如图4中的四个图象是描述竖直上抛物体的动量增量随时间变化的曲线和动量变化率随时间变化的曲线。若不计空气阻力，取竖直向上为正方向，那么以下结论正确的是（ ）
① 动量增量随时间变化的图线是甲图
② 动量变化率随时间变化的图线是乙图
③ 动量增量随时间变化的图线是丙图
④ 动量变化率随时间变化的图线是丁图
A. ①④ B. ②③ C. ③④ D. ①②
图4
11. 如图5所示，一铁块压着一纸条放在水平桌面上，当以速度v抽出纸条后，铁块掉在地上的p点。若以2v速度抽出纸条，则铁块落地点为（ ）
A. 仍在P点
B. 在P点左边
C. 在P点右边不远处
D. 在P点右边原水平位移的两倍处
图5
12. 如图6所示，质量为2kg的质点，从原点O沿Ox轴由静止开始做匀加速直线运动，它的动量p随位移的变化规律是p＝8 kg•m／s。则有
① 质点在1 s内受到的冲量为8N•s
② 质点通过相同距离，动量的增量可能相同
③ 质点通过A、B、C……各点时，动量对时间的变化率相同，均为16 kg•m／s2
④ 质点在任意相等时间内的动量增量一定相同
以上结论正确的是（ ）
A. ①④ B. ②③ C. ③④ D. ①②
图6
13. 物体A和B用轻绳相连接，挂在轻质弹簧下静止不动，如图7（a）所示。A的质量为m，B的质量为M．当连接A、B的绳突然断开后，物体A上升，经某一位置时的速度大小为v这时，物体B的下落速度大小为u，如图（b）所示。在这段时间里，弹簧的弹力对物体A的冲量为（ ）
A. mv B. mv—Mu C. mv+Mu D. mv+mu
图7
14. 一个物体同时受到两个力Fl、F2的作用，F1、F2与时间的关系如图8所示，如果该物体从静止开始运动，当该物体具有最大速度时，物体运动的时间是 s，该物体的最大动量值是 kg•m／s。
图8
15. 质量m＝5kg的物体在恒定水平推力F＝5 N的作用下，自静止开始在水平路面上运动，t1=2 s后，撤去力F，物体又经t2＝3 s停了下来。求物体运动中受水平面滑动摩擦力的大小。
16. 一人水平端着冲锋枪，可以给枪的平均水平力为40 N，被打出的子弹质量20g，出枪口的速度为200m／s，则该枪1 min内最多可发射多少发子弹？
17. 如图9所示，质量为m的小球在竖直光滑圆形内轨道中做圆周运动，周期为T，则
①每运转一周，小球所受重力的冲量的大小为0
②每运转一周，小球所受重力的冲量的大小为mgT
③每运转一周，小球所受合力的冲量的大小为0
④每运转半周，小球所受重力的冲量的大小一定为mgT／2以上结论正确的是（ ）
A. ①④ B. ②③ C. ②③④ D. ①③④
图9
探究创新
18. 有一宇宙飞船，它的正面面积S＝0.98 m2，以v＝2×102m／s的速度飞入一宇宙微粒尘区，此尘区每立方米空间有一个微粒，微粒的平均质量m＝2×10－7kg。要使飞船速度保持不变，飞船的牵引力应增加多少?（设微粒与飞船外壳碰撞后附于飞船上）
【试题答案】
1. C 2. C 3. B 4. A 5. 3 kg•m／s≤Δp≤11 kg•m／s
6. D 7. B 8. 9.
10. C 11. B 12. C 13. D 14. 5 25
15. 2 N 16. 600 17. B 18. 0.78N
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