求不定积分∫（1+cos^2)^(1/2)

Question

如题所述

Answer 1

推荐答案是不对的，验证下：
d/dx
lnsinx
dx
=
1/sinx
*
(sinx)'
=
cotx
若令t
=
cosx，x
=
arccost，dx
=
-
1/√(1
-
t²)
dt
∫
√(1
+
cos²x)
dx
=
∫
√(1
+
t²)
*
[-
1/√(1
-
t²)]
dt
=
-
∫
√[(1
+
t²)/(1
-
t²)]
dt，由于没有一个t的乘积，所以这个积分的解是超越函数的
wuzs10的过程是√(1
+
cos²x)
=
1/tanx？请问这步是如何化简的？
这个分明是椭圆积分的类型。
∫
√(1
+
cos²x)
dx
=
∫(0，x)
√(1
+
cos²θ)
dθ
=
∫(0，x)
√[1
+
(1
-
sin²θ)]
dθ
=
∫(0，x)
√(2
-
sin²θ)
dθ
=
∫(0，x)
√{2[1
-
(1/2)sin²θ]}
dθ
=
√2∫(0，x)
√[1
-
(1/√2)²sin²θ]
dθ
===>
椭圆积分∫(0，x)
√(1
-
k²sin²θ)
dθ形式，0
<
k
<
1
这里的k
=
1/√2
=
√2E(1/√2，x)
这个是第二类不完全椭圆积分。