求∫∫xdydz+ydzdx+zdxdy，其中积分区域为x^2/a^2+y^2/b^2+（z-1）^2/c^2=1 上半椭球面的外侧。

Question

我已经用高斯公式求出了上半椭球面+辅助面z=1的积分，下面我需要求该辅助面的积分，那么积分区域就变成了x^2/a^2+y^2/b^2=1，此时是直接将z=1代入积分么？如果是，代入后具体该怎么进行；如果不是，那么另有他法是什么？
以及下面这个问题：∫∫xdydz（类似，也包括∫∫ydxdz、∫∫zdxdy）所代表的几何意义又是什么？具体和积分区域、和投影面是什么样的关系？

Answer 1

补充平面 ∑1 : z = 1（x^2/a^2+y^2/b^2 ≤ 1）， 取下侧，成封闭立体.
I = ∫∫<∑> xdydz+ydzdx+zdxdy
= ∯<∑+∑1>xdydz+ydzdx+zdxdy - ∫∫<∑1>xdydz+ydzdx+zdxdy
前者用高斯公式， 后者 z = 1， dz = 0
I = ∫∫∫<Ω> 3dv + ∫∫<x^2/a^2+y^2/b^2 ≤ 1> dxdy
= 3(2π/3)abc + πab = πab(1+2c)

Answer 2

z = 1; dz = 0， 积分区域是XOY面上的标准椭圆。
代入得沿辅助面向上的积分 = ∫∫dxdy = πab