n阶实对称幂等矩阵A(即A2=A)它的秩为r,求标准型答:又因为A为实对称矩阵, 所以A必可正交对角化 即存在正交矩阵T满足 T^-1AT = diag(a1,a2,...,an)其中ai是A的特征值.由上知 ai 为1或0 故有 T^-1AT = diag(1,...,1,0,...,0).由 r(A)=r, 所以 diag(1,...,1,0,...,0) 中1的个数为r.所以 二次型的标准形为 y1^2...
求n阶实对称幂矩阵A(A^2=A)的秩为r,求:行列式 I+A+A^2+...+A^n答:所以 a=0 或 1.第2步.因为实对称矩阵可对角化 所以存在可逆矩阵P, 使得 P^-1AP = diag(1,1,...,1,0,0,...,0) =B (记为B)由 r(A)=r, 所以对角矩阵B=diag(1,1,...,1,0,0,...,0)中有r个1, n-r个0.且 B^k = B.第3步.由P^-1AP=B得 A=PBP^-1,且有 A^...
n阶矩阵A满足A^2=A,秩为r,证明存在可逆n阶矩阵P,使得PAP^-1=[Er,0...答:因而能由Ax = 0的基础解系c1, c2, ... ct线性表示, 其中t = n - r.故秩(B) = 秩(b1, b2, ..., bn) 小于或等于 n - r.由此可得 秩(A) + 秩(B) 小于或等于 n.另一方面, A + B = A + E - A = E,故n = 秩(E) = 秩(A + B) 小于或等于 秩(A) + 秩(B...