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导数有界函数一致连续
一致连续
性,可否理解为
导数有界
答:
导数有界,函数一定一致连续
。但是反过来并不成立,比如根号x,导数在(0,+∞)上无界,但是根号x是一致连续的,可以利用|根号x-根号y|<根号|x-y|来证明。
导函数有界
,原
函数一致连续
,麻烦给出具体证明?
答:
令x1趋近x2取极限,则左边是|f'(x2)|,右边仍是M,且由极限的保号性,只要证|f'(x2)|≤M。而根据条件f'(x)
有界
,因此|f'(x2)|≤M成立,所以原
函数一致连续
证明:若f(x)在(a,b)
可导
且其
导数有界
,则f(x)在(a,b)必
一致连续
答:
|f(x)-f(y)|=|f'(t)(y-x)|<=M|y-x| 这里用了拉格朗日中值定理,M是|f(x)
导数
|的上界 对于任意ε,令δ=ε/M,剩下的就是用一致连续定义来做了
函数一致连续
性的判别方法
答:
函数一致连续
性的判别方法如下:若f(x)在区间上(a,b)(可以是闭区间,开区间,或者无限区间)上连续,且其一阶
导数有界
,即存在M>0,使得|f'(x)|<=M,则f(x)在区间(a,b)上一致连续。f(x)=e^x,在(0,+∞)上,f‘(x)=e^x显然是无界的,所以e^x在(0,+∞)是非一致连续的。但...
...b)上的
导数
f`(x)
有界
,则f(x)在此区间上
一致连续
答:
证明:∵
函数
f(x)在(a,b)上的
导数
f`(x)
有界
,则存在M>0,s.t. 对任意x∈(a,b),|f`(x)|0,存在δ=ε/M,s.t.对任何x1,x2∈(a,b),且|x1-x2|
函数FX在区间
可导
,其
导函数
在该区间
有界
,证函数在该区间
一致连续
答:
由于
导数有界
,设M=|f(x)'|max,即导数在区间上绝对值的最大值,则区间上任意x1,x2,由中值定理(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)=f(ξ),则|f(x1)-f(x2)|=|(x1-x2)*f(ξ)|<=M|x1-x2|.证毕。
关于
函数
一直
连续
性的含义
答:
错误。例如: f(x) = |x| 在 R上一致连续 “如果
函数导数
存在,则
函数一致连续
等价于 函数的
导数有界
。”错误。 例如:f(x) = xsin1/x, 在 0<x<1上一致连续,但导数无界。“按照一致连续定义y=sin x和y=x^2,在R上是一致连续的。”错误。 y=x^2,在R上不是一致连续的。
函数一致连续
是什么意思?
答:
x")|<ε恒成立,则该函数在区间I上
一致连续
。对于在闭区间上的
连续函数
,其在该区间上必一致连续。一致连续的函数必定是连续函数。从上述定义中可以看出,当函数在区间I上一致连续时,无论在区间I上的任何部分,只要自变量的两个数值接近到一定程度,总可以使相应的函数值达到预先指定的接近程度。
工科数学分析
答:
∵
函数
f(x)在(a,b)上的
导数
f`(x)
有界
,则存在M>0,s.t. 对任意x∈(a,b),|f`(x)|<M,对任意ε>0,存在δ=ε/M,s.t.对任何x1,x2∈(a,b),且|x1-x2|<δ,由拉格朗日中值定理,存在ξ=x1+θ(x2-x1)(其中θ∈(0,1)),有 f(x1) - f(x2) = f`(ξ)(...
一致连续
的定理
答:
当然对于无限区间上的
函数
,即使不存在,f(x)也可能是
一致连续
的,比如y=x。 若f(x)在区间上(a,b)(可以是闭区间,开区间,或者无限区间)上连续,且其一阶
导数有界
,即存在M>0,使得,则f(x)在区间(a,b)上一致连续。由此很容易判定y=x+sin x在上一致连续,在上非一致连续性。
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