关于函数一直连续性的含义

Question

如题所述

Answer 1

一致连续与连续的差别是：
一致连续: 对给定 ε>0, 可以找到普适的δ>0,
连续: 对给定 ε>0, 对每个x,能找到一个δ>0, 而这个 δ的选择可能依赖x. 比如 f(x)=x^2, x越大， δ就得越小。于是找不到普适的δ。

“而y＝sin x的导数最大只有1，所以就取δ>1即可？”
不成立。 正确说法是：而y＝sin x的导数最大只有1，所以就取δ>1×ε=ε即可。

前面三位的说法都有错误：

“表现在图像上应该是平滑曲线 没有折角 ”
错误。例如： f(x) = |x| 在 R上一致连续

“如果函数导数存在，则函数一致连续 等价于 函数的导数有界。”
错误。 例如：f(x) = xsin1/x, 在 0<x<1上一致连续,但导数无界。

“按照一致连续定义y＝sin x和y＝x^2，在R上是一致连续的。”
错误。 y＝x^2，在R上不是一致连续的。