函数基本性质

Question

如题所述

Answer 1

函数基本性质为奇偶性、单调性、对称性、函数的周期性。

1、奇偶性

奇偶性是函数的一种基本性质，指一个实变量函数如果存在奇偶性，那么它在定义域内的任何x都满足这种性质。例如，正切函数y=tan(-x)=-tan(x)，其中y是正实数，x是角速度，t是时间，则y=tan(-x)是一个偶函数。

如果f(-x)=-f(x)，则f(x)也是偶函数。奇偶性可以通过正切函数来证明，正切函数是奇函数，图像关于原点对称，因此偶函数对y轴的映射是偶函数。另外，偶函数不可能是个双射映射。

2、单调性

单调性是反比例函数的一种基本性质，指的是函数在定义域内的某个区间上单调递增或递减。如果函数y=f(x)在区间I内是单调递增的，则当x1<x2时，函数y是单调递增的。

如果函数y=f(x)在区间I内是单调递减的，则当x1<x2时，函数y是单调递减的。单调性是反比例函数的基础，它决定了函数的连续性和可导性。

3、对称性

一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称。例如，如果函数y=f(x)=g(x)，则y=f(-x)关于y轴对称。如果函数y=g(x)=h(x)，则y=g(-x)关于x轴对称。同样地，如果函数y=h(x)=k(x-x)，则y=h(-x)关于x轴对称。

关于一个点对称的情况，如果两个点关于原点的连线垂直，则两个点的坐标互为相反数。关于一个直线对称的情况，如果直线上两个点的坐标互为正数，则该直线关于原点对称。

4、函数的周期性

函数周期性指的是函数在定义域内的某些点的图像是重复出现的。例如，如果函数y=f(x)是一个周期函数，那么在定义域内的任意x都加上或减去T的整数倍，得到的x+T的值都应该是f(x)的周期。如果T是函数f(x)的周期，那么f(ωx)(ω≠0)也是周期函数，且周期为 |w|。