致密性定理的具体证明过程是怎样的？用最简单的方法啊。

Question

如题所述

Answer 1

1. 应用魏尔斯特拉斯聚点定理，我们可以证明致密性定理。
2. 考虑一个有界数列{x_n}。
3. 如果这个数列中存在无穷多项相等的情况，我们可以从中取出这些相等的项作为一个子列。
4. 这时候，结论显然成立，因为子列仍然满足致密性定理。
5. 如果数列{x_n}中没有无穷多项相等，那么它是一个有界无限点集。
6. 根据聚点定理，这样的有界无限点集必定存在聚点x_0。
7. 任意选择一个正数a，我们可以找到数列中的某一项x_{n_1}，使得|x_{n_1} - x_0| < a。
8. 接着，我们可以继续选择a/2, a/2^2, ...等更小的正数，找到数列的子列{x_{n_k}}，使得它收敛于x_0。
9. 因此，致密性定理得证。