极值和最值有什么区别？

Question

如题所述

Answer 1

在数学中，极值和最值是两个概念，它们常用于描述函数或集合中的特定值。下面我将为你详细解释它们的区别。
1. 极值（Extreme Values）：
极值是指函数在某个特定区间或集合上的最大值或最小值。它分为两种类型：
- 局部极值（Local Extrema）：局部极值指的是函数在某个小的区间内的最大值或最小值。局部极大值是函数在该区间内的最大值，局部极小值是函数在该区间内的最小值。
- 全局极值（Global Extrema）：全局极值是指函数在整个定义域上的最大值或最小值。全局极大值是函数在整个定义域上的最大值，全局极小值是函数在整个定义域上的最小值。
极值的判定通常使用导数和二阶导数的方法，也可以通过图像观察函数的曲线来判断。
2. 最值（Optimal Values）：
最值是指集合中元素的最大值或最小值。它同样可以分为两种类型：
- 最大值（Maximum Value）：集合中元素的最大值。
- 最小值（Minimum Value）：集合中元素的最小值。
最值的判定通常通过比较集合中的元素来确定。
总结起来，极值主要用于描述函数的最大值或最小值，可以是局部的或全局的。而最值则是用于描述一个集合中元素的最大值或最小值，与函数的概念略有不同。
需要注意的是，极值与最值有时候可以重合，也就是说，某个函数的极值也是它的最值。然而，这并不总是成立，因为最值可能存在于函数的非极值点上。因此，在具体的分析中，我们需要根据情况来确定所讨论的是极值还是最值。

Answer 2

1、代表意义不同

最值，是函数的定义域内的最高点和最低点。函数最值分为函数最小值与函数最大值。简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。函数最大（小)值的几何意义：函数图像的最高（低）点的纵坐标即为该函数的最大（小）值。

函数极值是一定范围内（给定区间）内取得的最大值或最小值，分别称为极大值或极小值，极值也称为相对极值或局部极值。

2、包含关系不同

极值可能是最值，但是最值不一定是极值。另外，开区间的极值点一定是最值点。例如：

例如：y = x³ - x (-5 ≤ x ≤ 5)。 极大值在 x=-1 跟 x=0 之间，极小值在 x=0 跟 x=1 之间。 而最小值在 x=-5 处，Y最小= -120；最大值在 x=5 处，Y最大=120 。