一道二次函数求取值范围的题，为什么最后f(x)在[a,b]上单调就b-a取最小值，不单调就取最大？

Question

而且为什么f(x)单调时，[a,b]是[0，2]或[2,4]而不单调就在[0，4]呢？感谢解答🙏

Answer 1

把函数图像画出来，更加直观。

函数的顶点本身就是ymin所在处，所以当值域在[-2,2]时，会有如图所示的三种情况：

如果在这个区间内单调，那么要么从顶点往左（左边的绿色示意部分），要么从顶点往右（右边的绿色示意部分），定义域是[0,2]或者[2,4]，此时b-a就是2；

如果在这个区间内不单调，那么会是一个相当动态的范围，最大范围见橙色示意部分[0,4]，最小则可能是从0到略大于2（稍微往上翻转一点点）或者从略小于2到4，类似于这样，此时定义域也是动态的。

Answer 2

观察原函数，f(x)=x^2-4x+2，是一个以x=2为对称轴，开口向上的函数，其最小值为-2

令f(x)=2，解得x=0或4，
根据题意，f(x)在[a,b]上的值域为【-2,2】，则a和b须满足：
条件①：【a,b】应在【0,4】之间
条件②：a和b当中一个需包含x=0或x=4，
条件③：[a,b]必须包含x=2
若a、b均小于等于2（单调递减），则b=2（条件③），a=0（条件②）,b-a=2
若a、b均大于等于2（单调递增），则b=4（条件②），a=2（条件③），b-a=2
若a≤2，b≥2（先递减再递增），则有a∈【0,2】，b∈【2,4】（条件①）且a=0或b=4（条件②），b-a最小为4-2=2或2-0=2，最大值为4-0=4，所以b-a范围为[0,4]
综上所述，b-a范围为[2,4]