闭区间【a，b】上，f（x）严格单调，f‘（x）黎曼可积，怎么说明f（x）与f’（x）在【a，b】上连续？

Question

如题所述

Answer 1

刚在团队求助里看到, 就在这里整理一下论点.
1. 由于题目叙述已默认f(x)在[a,b]可导, 所以f(x)连续是显然的.

2. 但是f'(x)可以不是连续的, 一个反例为:
在x ≠ 0处取f(x) = x²·sin(1/x)+3x, 并取f(0) = 0.
于是在x ≠ 0处, f'(x) = 2x·sin(1/x)-cos(1/x)+3,
而f'(0) = lim{x → 0} f(x)/x = 3+lim{x → 0} x·sin(1/x) = 3, 因此f(x)处处可导.
但易见lim{x → 0} f'(x)不存在, 故f'(x)在x = 0处不连续.
另一方面, 在[-1,1]上显然成立f'(x) > 0, 故f(x)严格单调.
又f'(x)只有一个不连续点x = 0, 因此是Rimann可积的.
综上, f(x)在[-1,1]严格单调, 处处可导, 且f'(x)Riemann可积, 但f'(x)不连续.

3. 关于你原本的问题, 定积分换元公式: ∫{φ(a),φ(b)} f(x)dx = ∫{a,b} f(φ(t))φ'(t)dt.
成立的条件主要有以下几种:
1) φ(t)在[a,b]上有连续导函数, f(x)在φ([a,b])上连续.
这个条件主要是方便用Newton-Leibniz公式证明.
2) φ(t)在[a,b]上单调, 并有连续导函数, f(x)在φ([a,b])上Riemann可积.
证明要从Riemann积分的定义出发, 借助微分中值定理表达左端的Riemann和.
在证明中, φ'(t)的连续性有助于简便的估计误差.
3) φ(t)在[a,b]上单调, 可导且φ'(t)在[a,b]上Riemann可积, f(x)在φ([a,b])上Riemann可积.
证明思路与上面基本一致, 但因为条件减弱了, 估计误差时要麻烦一点.
另外, 在这个证明中是不需要(也不可能)证明φ'(t)连续的.