第1个回答 2006-07-18
哲学指导各门具体科学,离开各门具体科学哲学也无从谈起。数学作为基础科学中的一门,当然同哲学也有不可割断的千丝万缕的联系。本文试图从哲学的角度出发,对某些和数学有关的现象作初步分析。
唯物辩证法认为,世界的本原是物质。谈到数学对象,这里有一个问题:数学对象是不是物质?这些数学概念与它们所代表的事物,是哪个在前哪个在后?这有点关系到数学的本质问题。关于这个问题,历史上有多种看法:柏拉图主义认为,数存在于理念世界;唯名论观点认为,数是纸上的符号或头脑中特定的概念;德国古典哲学的代表人物康德认为,数是思维创造的抽象实体;约定论观点认为,数学规则不过是人的约定……这些看法无疑都是唯心主义的观点。如果承认这类说法是正确的,有一个问题无法解释:为什么数学定律如此准确和客观,和我们的物质世界符合的这样好?例如虚数的产生是谁也没有想到的,在发现虚数之后的几百年内最伟大的数学家也认为它是一个怪物,纯属虚幻。直到后来人们在物理中找到它的用处才发现它并不虚。又例如黎曼几何的创立,创立之后受到人们的冷落,却成为100年后爱因斯坦提出相对论所用的有力工具。如果数学对象是主观产生的,像这样的问题如何解释呢?因此,我们用唯物论来说明:数学对象来源于客观事物,数学概念是客观事物的数量关系和空间形式在人的头脑这个物质中抽象出来的,人们根据概念创造出数学对象,一旦创立,数学系统就有了自己的规律,任何规律都是事物运动过程本身所固有的、必然的、本质的联系,不为人的主观意志所转移,数学规律也不例外。由于对象来源是物质世界,数学规律是人们从客观世界的运行规律中抽象出来的,数学的准确性和客观性也就不难解释了。无论数学家是不是唯心主义者,当他们遵循规律进行数学运算时,他们已经不自觉地运用了唯物论。数学体现了唯物辩证法的观点,同时也体现了唯物主义认识论的观点。人的认识是直接或间接从实践中得到的,而感性认识又经过人脑的抽象后上升到理性认识,此后再指导实践。如此往复,人类的认识水平才不断提高。而数学的发展过程也体现了这一观点。
关于数学对象的产生,应该用唯物辩证法中矛盾的普遍性与特殊性的观点来解释。唯物辩证法认为,世界上的一切事物不但包含矛盾的普遍性,而且包含了矛盾的特殊性。我们认识事物的时候,要遵循从特殊到普遍,再从普遍到特殊的认识秩序。初等数学知识基础中的基础,自然数的单位1是小学生都知道的,但是1是什么?1是一张椅子吗,是一个电脑吗,还是一个别的什么东西?都不是。1是思维对事物高度抽象的结果,是不管所谈论物体的颜色,重量,状态等等,除矛盾特殊性后得出的最基本的普遍性——代表一个个体。这是人类计数数最基本的来源。再问一句,那2是什么?物质世界中只有1没有2!每一个个体都是独一无二的,它都具有自己的特殊性。从1得到2,又需要更进一步的抽象。这样抽象出来的数,具有放之四海皆真理的特点,它所具有的运算律,也适用于它的来源——物质世界。但我们也不能教条主义地认为,所有的东西都是1+1=2,要对具体的问题进行具体的分析,例如一杯水和另一杯水倒在一起还是只有一杯。
有了数学对象,我们对它们进行研究。欧氏几何中有这样一个定理:三角形内角和等于180度。这个定理似乎很简单,但从哲学的角度来看,这里蕴含了深刻的道理:它阐明的是三角形的总体性质,这样的性质对于三角形的任何一个角,任何一条边都不适用;但正是由于各个角、各条边各自性质的相互作用,才使得这个定理成立。正好印证了唯物辩证法的观点:整体和局部既相互联系又相互区别,二者不可分割,相互影响。现代数学十分关心事物的总体性,数学分析中有一门分支就专门研究流形(曲面的推广)的总体性质。也不知道是数学的发展影响了哲学,还是哲学影响了数学?另一方面,上面这个定理讲的是三角形,那么四边形呢?五边形呢?n边形呢?这个问题初中生也可以回答:是(n-2)×180度。但是这样的回答并不完美,太繁琐。从另一个角度出发,当代数学大师陈省身利用归纳法提出了著名的定理:任意凸多边形的外角和为360度!放到曲面上,放到流形上,最终达到了深刻的著名的高斯—比内—陈定理。这里再一次体现了从普遍性到特殊性,再从特殊性到普遍性的辩证法道理。
唯物辩证法与形而上学最根本的区别就在于唯物辩证法是以联系的、发展的、全面的观点看问题,而形而上学则采用孤立的、静止的、片面的观点看问题。虽然数学本身是一门严谨精确的学科,有着旺盛的生命力,但是无论在任何时候,数学要发展,就必须采用唯物辩证法的观点去解决数学问题,这在数学的发展史上是得到了证明的。著名的数学家拉格朗日曾指出:“只要代数同几何分道扬镳,它们的进展就缓慢,它们的应用就狭窄,但是当这两门科学结合成伴侣是,它们就互相吸取新鲜的活力,从那以后,就以快速的步伐走向完善。”确实,如果将“数”与“形”之间的关系以孤立、静止、片面的观点去看,那么数学就不可能有如此长足的发展。历史上三次数学危机的发生,归根结底都可以总结为科学家们没有认识到数学的本质特点,不知不觉犯了唯心主义或形而上学的错误。在第一次数学危机——无理数的发现——发生之前,毕达哥拉斯学派认为:万物皆数。这里将数学中的“数”作为万物的本源就是犯了唯心主义的错误。“数”本身是一个抽象概念,仅仅是物质具体形态的一个属性,本身并不具有物质性,如果将“数”作为万物的本源实际上就是将一个抽象的概念(意识)作为本源了。当代数学需要形式逻辑,但并不是形而上学。很多人认为形式逻辑就是形而上学,这一点也是不正确的。形式逻辑与形而上学有着本质的区别,形式逻辑从形式结构方面研究概念、判断和思维,它揭示了人类在思维过程中的一种必然规律,而不是静止不变地看待问题。看待数学问题,尤其是从总体上去把握数学的时候,应当采用辩证唯物主义的观点,而不能仅仅被表面现象所迷惑而不去发掘数学的本质属性。
在以上的讨论中可见,数学中体现了丰富的辩证唯物主义观点,这一方面说明了数学是辩证的,另一方面也从一个侧面反应了唯物主义的正确性。西方哲学家的努力有助于使数学与哲学结合得更紧密,马克思在百忙之中认真学习数学,写出了极重要的《数学手稿》。毋庸置疑数学发展离不开哲学的指导,而哲学可以也应该在数学中汲取到营养。本回答被提问者采纳