求曲线y=sinx+1与x=0,y=0,x=pai所围成的图形，绕x轴旋转一周所得的旋转体体积
求曲线y=sinx+1与x=0,y=0,x=pai所围成的图形，绕x轴旋转一周所得的旋转体体积黑字的解问题在哪？
你还是说绕哪个轴旋转的体积怎么算?
如果是绕Y轴旋转,你可以先画出图形,是一个中心凹陷、中间凸起、边缘光滑过度的一个东东,它的体积有两种算法：一种是微薄片圆筒法求积,沿半径方向从0积到π,就是你写出来的这种解法,薄片圆筒的体积为底面积乘高,底面积为2πxdx,高为y=sinx,因此其微元体积为dV=2πxdx*sinx,然后将x从0积到π就行了.还有一种办法是截面法,就是用平行于xoz面（曲线为xoy面,设垂直于xoy面的方向为z轴方向）的相邻很近的两个平面来截该物体（也就是说用垂直于纸面即xoy面且平行于x轴的平面来截该物体）,则得到一个薄圆环,横截面为一个圆环,圆环内径为x=arcsiny,外径为π-x=π-arcsiny,于是截面法得到的薄圆环的微体积为dV=π[(π-arcsiny)^2-(arcsiny)^2]dy,故其体积
V=∫dV=∫（0,1）π[(π-arcsiny)^2-(arcsiny)^2]dy=∫（0,1）π(π^2-2πarcsiny)dy=
π^3-2π^2∫（0,1）arcsinydy=π^3-2π^2*[yarcsiny|(0,1)-∫（0,1）y*1/√(1-y^2)dy]=
π^3-2π^2*[π/2+∫（0,1）1/2*1/√(1-y^2)d(1-y^2)]=π^3-2π^2*[π/2+√(1-y^2)|(0,1)=
π^3-2π^2*(π/2-1)=2π^2追问
如果是绕Y轴旋转,你可以先画出图形,是一个中心凹陷、中间凸起、边缘光滑过度的一个东东,它的体积有两种算法：一种是微薄片圆筒法求积,沿半径方向从0积到π,就是你写出来的这种解法,薄片圆筒的体积为底面积乘高,底面积为2πxdx,高为y=sinx,因此其微元体积为dV=2πxdx*sinx,然后将x从0积到π就行了.还有一种办法是截面法,就是用平行于xoz面（曲线为xoy面,设垂直于xoy面的方向为z轴方向）的相邻很近的两个平面来截该物体（也就是说用垂直于纸面即xoy面且平行于x轴的平面来截该物体）,则得到一个薄圆环,横截面为一个圆环,圆环内径为x=arcsiny,外径为π-x=π-arcsiny,于是截面法得到的薄圆环的微体积为dV=π[(π-arcsiny)^2-(arcsiny)^2]dy,故其体积
V=∫dV=∫（0,1）π[(π-arcsiny)^2-(arcsiny)^2]dy=∫（0,1）π(π^2-2πarcsiny)dy=
π^3-2π^2∫（0,1）arcsinydy=π^3-2π^2*[yarcsiny|(0,1)-∫（0,1）y*1/√(1-y^2)dy]=
π^3-2π^2*[π/2+∫（0,1）1/2*1/√(1-y^2)d(1-y^2)]=π^3-2π^2*[π/2+√(1-y^2)|(0,1)=
π^3-2π^2*(π/2-1)=2π^2追问
是绕x轴转形成一个中间胖的圆台
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第1个回答 2023-08-28
V2这样算相当于Y=sinx绕x轴旋转，你这样体积显然是小于sinx+1绕x轴旋转，即使你只考虑d1。你可以取个面积微元，用武忠祥老师说的二重积分考虑，那个环显然大一点。
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