定积分求解

Question

由于是自学考试,所以教材里面的讲解很简单,大家能帮我解一下这道题目,过程详细一点:
题目:Fx=x,0≤x≤1 时,求:∫tdt(上限为X,下限为0) ; ∫tdt(上限为1,下限为0)

Answer 1

Answer 2

D以外的区域我就不说了.
f(x,y)={1/π, D⊆( x^2+y^2<=1), 0,其它}
（1） 求边缘密度函数：
X的边缘密度函数； fX(x)=∫[-∞:+∞]f(x)dy
=∫[-√1-x^2:√1-x^2]1/πdy
=2/π× √1-x^2.
同理可知道Y的边缘密度函数：
fY(y)=2/π× √1-y^2.
∵fX(x) × fY(y) = 4/π^2×√(1-x^2)× (1-y^2).
f(x,y) =1/π ≠fX(x) × fY(y)
∴X与Y不独立.
（2） ∵ cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)
∴E(XY)=2∫[-1:1]∫[0:√1-x^2]f(x,y)*xydxdy
=2∫[-1:1]x∫[0:√1-x^2]1/πydydx
=1/π∫[-1:1]x(1-x^2)dx
=1/2π (x^2-1/2*x^4) [-1,1]
=0;
E(X)=∫[-1:1]xfX(x)=1/π∫[-1:1]√1-x^2dx^2
令t=x^2, 则 E(X)=1/π∫[-1:1]√1-tdt
=0 (因为f(t)=√1-t为奇函数，且区间是对称）
同理可知道：E(Y)=0.
∴cov(x,y)=0. 即 X与Y不相关.本回答被网友采纳

Answer 3