函数的单调性

Question

f(x)=x平方+√（1-x平方）为增函数的区间是
A （-√3/2，0）及（√3/2，1）
B （-1,-√3/2）及（0,√3/2）
C （-√3/2,0）及（0,√3/2）
D （-1,-√3/2）及（√3/2，1）

Answer 1

√（1-x平方） = t
x^2 = 1- t^2

f(x) = 1 - t^2 + t = 5/4 - (t -1/2)^2
= 5/4 - [√(1 -x²) - 1/2 ]²

函数的定义域是 [-1, 1]
在 [-1, -√3/2] 区间, 随 x 增加, x² 增加, 1-x² 减少, [√(1 -x²) - 1/2 ]² 递减, 5/4 - [√(1 -x²) - 1/2 ]² 递增
余此类推. 总结出
当 x = ±√3/2 时, [√(1 -x²) - 1/2 ]² = 0, f(x) 函数取最大值
当 x = 0 时, f(x) 取最小值

f(x) 在 [-1, -√3/2] 上递增, 然后在 [-√3/2, 0] 上递减, 在[0,√3/2]上递增,在[√3/2,1]上递减
答案为 B

--------------
题目初步给人感觉 用三角函数换元会更简单, 但实际上却并未因此带来简单
设 x = cosA
f(x) = cos²A + |sinA| = 1 + |sinA| - sin²A
= 5/4 - (|sinA| - 1/2)²
从这里直接进行讨论的话, 依然很麻烦, 看不出清晰的结论. 所以只好继续往下走
= 5/4 - [√(1-x²) - 1/2]²
又和上面一样了

我的方法也不见得好, 欢迎指教.

Answer 2

　　函数的单调性（monotonicity）也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）。 在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。

如果说明一个函数在某个区间D上具有单调性，则我们将D称作函数的一个单调区间，则可判断出：
D⊆Q（Q是函数的定义域）。
区间D上，对于函数f(x)，∀ x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) >f(x2)。或，∀ x1，x2∈D且x1>x2，都有f(x1) <f(x2)。
函数图像一定是上升或下降的。
该函数在E⊆D上与D上具有相同的单调性。

注意：
1、函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。因此，说单调性时最好指明区间。
2、有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数。
3、函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，具有任意性，不能用特殊值代替。
4、在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间。
5、如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开。

Answer 3

选A.解：因1-x^2≥0.===>-1≤x≤1.故可设x=cost.(0≤t≤π).则f(t)=sint+(cost)^2=sint+1-(sint)^2.求导得：f'(t)=cost-2sintcost=cost(1-2sint).由题设有：cost>0,且1-2sint>0.或cost<0,且1-2sint<0.===>0<t<π/6.或π/2<t<5π/6.===>√3/2<x<1,或-√3/2<x<0.故函数的增区间是（-√3/2,0)∪(√3/2,1).