不等式证明

Question

求证明：对于N>1,0<=p<=N,都有
S(N)*S(N-2)/[S(N-1)*S(N-1)]>(N-1)/N
其中，
S(N)=1+p+p^2/2!+...+p^k/k!+...+p^N/N!
p^k表示p的k次方，k!表示k的阶乘。

苦苦证明了2个星期，没有思路，希望有数学达人相助。在此先谢过！
呵呵！已经用归纳法做过，没证出来。希望能给出具体过程。

Answer 1

因为，S(N)等于S(N-1)+p^N/N!，S(N-2)等于S(N-1)-p^(N-1)/(N-1)!，所以，原式左边等于{[S(N-1)+p^N/N!]*[S(N-1)-p^(N-1)/(N-1)!]}/[S(N-1)*S(N-1)]=1-{p^(2N-1)/[(N-1)!*N!]-S(N-1)*[p^N/N!-p^(N-1)/(N-1)!]}/[S(N-1)*S(N-1)]>1-1/N…所以，只需证1/N>{p^(2N-1)/[(N-1)!*N!]-S(N-1)*[p^N/N!-p^(N-1)/(N-1)!]}/[S(N-1)*S(N-1)]…只需证[S(N-1)*S(N-1)]>N*{p^(2N-1)/[(N-1)!*N!]-S(N-1)*[p^N/N!-p^(N-1)/(N-1)!]}={p^(2N-1)/[(N-1)!*(N-1)!]-N*S(N-1)*[p^N/N!-p^(N-1)/(N-1)!]}…只需证[S(N-1)*S(N-1)*p]>{p^(2N)/[(N-1)!*(N-1)!]-P*N*S(N-1)*[p^N/N!-p^(N-1)/(N-1)!]}={[p^(N)/(N-1)!]^2-N*S(N-1)*(p^N)*[p/N!-1/(N-1)!]}={[p^(N)/(N-1)!]^2-S(N-1)*(p^N)*(p-N)/(N-1)!}={[p^(N)/(N-1)!]^2+S(N-1)*(p^N)*(N-p)/(N-1)!}，所以将右边的式子变为完全平方，{S(N-1)*S(N-1)*[p+(N-p)*(N-p)/4]}>[p^(N)/(N-1)!+S(N-1)*(N-p)/2]^2…再开方，得到S(N-1)*{[p+(N-p)*(N-p)/4]^(1/2)}>[p^(N)/(N-1)!+S(N-1)*(N-p)/2]，即可得{[p+(N-p)*(N-p)/4]^(1/2)-(N-p)/2}*S(N-1)>p^(N)/(N-1)!…如果0<=p<=1，那么S(N-1)>1>p^(N)/(N-1)!…只需证{[p+(N-p)*(N-p)/4]^(1/2)-(N-p)/2}>0即可，即[p+(N-p)*(N-p)/4]^(1/2)>(N-p)/2，两边平方，4*[p+(N-p)*(N-p)/4]>(N-p)^2，[4p+(N-p)^2]>(N-p)^2，所以，p>0…由于p>0，故，得证！…如果p>1，（不能直接用数学归纳法，因为p会随N变大且小于等于N，当N=k时，不等式成立，到N=K+1时，要用到假设条件，但此时的p只对小于等于k时成立，不适用于N=K+1时）…待证…

Answer 2

用归纳法证明。这样啊，今晚看有空我试试看。好久没动手了。。。
LZ真有毅力，能搞两周，一般我早就不管了。

Answer 3

根据泰勒级数
知Sn=e^p-[e^(ap)p^(n+1)/(n+1)!] 0<a<1
把这个带进去不知道证不证得了....本回答被网友采纳

Answer 4

做个标记，我帮你看看。希望能。。。