当x→x0，证明极限sinx=sinx0

Question

要求：用函数极限定义来证明，提示：三角函数和差化积公式。
哪位高人可以写出具体过程啊~~~感激不尽！！！

Answer 1

主要是用到结论：|sinx|≤|x|

|sinx-sinx0|

＝|2cos((x-x0)/2)sin((x-x0)/2)|

≤2|sin((x-x0)/2)|

≤2|(x-x0)/2|

＝|x-x0|

对于任意的正数ε，要使得|sinx-sinx0|＜ε，只要|x-x0|＜ε，所以取δ＝ε，当0＜|x-x0|＜δ时，恒有|sinx-sinx0|＜ε。

所以由函数极限的定义，lim(x→x0) sinx＝sinx0。

扩展资料：

极限的求法

1、恒等变形

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母。

2、通过已知极限

特别是两个重要极限需要牢记。

3、采用洛必达法则求极限

洛必达法则是分式求极限的一种很好的方法，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。

参考资料来源：百度百科-函数极限

Answer 2

主要是用到结论：|sinx|≤|x|

|sinx-sinx0|＝|2cos((x+x0)/2)sin((x-x0)/2)|≤2|sin((x-x0)/2)|≤2|(x-x0)/2|＝|x-x0|

对于任意的正数ε，要使得|sinx-sinx0|＜ε，只要|x-x0|＜ε，所以取δ＝ε，当0＜|x-x0|＜δ时，恒有|sinx-sinx0|＜ε

所以由函数极限的定义，lim(x→x0) sinx＝sinx0本回答被提问者采纳

Answer 3

令f(x)=sinx-x
f`(x)=cosx-1<0 函数单调递减
对于f(|x-x0|)=sin|x-x0|-|x-x0|<f(0)
sin|x-x0|<|x-x0| 既2(sin|x-x0|/2)*(cos|x-x0|/2)<|x-x0|
又|sinx-sinx0|=2|sin(x-x0)/2cos(x+x0)/2|
很显然sin(x-x0)/2<=sin|x-x0|/2 cos(x+x0)/2<cos|x-x0|/2
故|sinx-sinx0|<2(sin|x-x0|/2)*(cos|x-x0|/2)<|x-x0|
既|sinx-sinx0|<|x-x0|
故对于任意|sinx-sinx0|<a 只要|x-x0|<a即可成立
命题得证

Answer 4

这个极限值就是导数的定义，
lim(x趋于x0)
f(x)
-f(x0)
/
(x-x0)
表示的就是x=x0点，f(x)的导数
那么在这里
lim(x趋于x0)
(sinx-sinx0)
/
(x-x0)
=
lim(x趋于x0)
(sinx)'
=lim(x趋于x0)
cosx
=
cosx0
所以极限值就是cosx0

Answer 5

x0=x+t
x→x0时
t→0:
lim(sinx-sin(x+t))
=lim[sinx-sinxcost-cosxsint]
=lim[sinx(1-cost)-cosxsint]
=sinxlim(1-cost)-cosxlimsint(为有限值）
=sinx(1-1)-cosx*0
=0