估值定理的推导，可以直接用 f(x)-m的积分≥0来证明，M的情形类似。
中值定理可以由那个定积分除以(b-a)，由估值定理，这个值在m和M之间，根据连续函数的介值定理，f(x)中总有ξ使其函数值在最小、最大值之间，然后把 b-a乘过来就得到了。
定积分是阴影部分面积，自然是介于绿线下面部分和红线下面部分的面积；中值定理：这个面积等于某个介于最小、最大值之间的，蓝线下面的面积。
扩展资料：
如果是一元函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，只需把上述估定理公式中的S改成区间长度 b -a，如区间在[n+1,n]单调递减的函数f(x)的积分，(n+1-n)*f(n+1)<= ∫f(x)dx<=f(n) *(n+1-n)，即任意一个函数在闭区间[a,b]上连续他从闭区间[a,b]的定积分，其中m为f(x)在闭区间[a,b]上的最小值，M为最大值。
导数只是反映函数在一点的局部特征；如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。
无穷小（大）量阶的比较时，看到两个无穷小（大）量之比的极限可能存在，也可能不存在。如果存在，其极限值也不尽相同。称两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限为型或型不定式极限。
参考资料来源：百度百科——中值定理
参考资料来源：百度百科——积分估值定理
一般的教材上都会有这两个定理的证明。理解上，估值定理可以这样：如下图，根据定义，定积分是阴影部分面积，自然是介于绿线下面部分和红线下面部分的面积；中值定理：这个面积等于某个介于最小、最大值之间的，蓝线下面的面积。
估值定理的推导，你可以直接用 f(x)-m的积分≥0来证明，M的情形类似
中值定理可以由那个定积分除以(b-a)，由估值定理，这个值在m和M之间，根据连续函数的介值定理，f(x)中总有ξ使其函数值在最小、最大值之间，然后把 b-a乘过来就得到了。
我对这两定理的理解如下，希望能帮助到你:
用函数的几何意义来解释如下图:
定积分的估值定理:
定积分的中值定理:
需要证明过程吗？
老师，中值定理我没看明白，能否写的更详细点？
追答首先你要理解“函数积分的几何意义”，就是函数与坐标轴，和左右区间线所围成图形的面积，注意如果函数0的部分抵消。
注意：“积分中值定理”只能用在函数的连续区间上（从a~b都连续的，不能有断开或直上直下）。
观察上图，其实中值定理体现出来的是：用函数的平均值f(ξ)×(b-a)的矩形的面积，可以=函数在a~b的积分。
而必有一点ξ的意思是：这个平均值一定能在a~b这段函数值内找到(取得)。
这个你得多做题去理解。我这样讲还是靠你悟性。
估值定理:因为面积关系。曲线与x轴所围区域的面积，肯定比最大值对应的矩形面积小，而比最小值对应的矩形面积大。
这样，一定存在一个值u，u对应的矩形面积等于曲线与x轴所围区域的面积；另一方面，u必定位于最大值和最小值之间。把这个u视为直线y=u与y轴的交点，那么直线y=x与曲线的交点的横坐标，就是题目里面的那个数字。