求微分方程的通解，y'－2y=x∧2

Question

如题所述

Answer 1

这种题比较好做，先求一个特解，右边是x²，所以可以猜测y=ax²+bx+c
代入方程：2ax+b-2ax²-2bx-2c=x²，所以a=-1/2, 2a-2b=0, b=-1/2, b-2c=0, c=-1/4.
即有特解y0=-x²/2-x/2-1/4。
下面求y'-2y=0的通解。
这个通解比较好求，直接是y1=Ce^(2x)，
所以通解为y=-x²/2-x/2-1/4+Ce^(2x)

Answer 2

对应齐次方程 y ' - 2y = 0 的通解为 y = Ce^2x，

设特解 y=ax^2+bx+c，则 y' = 2ax+b，
代入得 2ax+b-2(ax^2+bx+c) = x^2，
比较系数得 -2a=1，2a-2b=0，b-2c=0，
解得 a = -1/2，b= -1/2，c= -1/4，
所以原微分方程通解为 y=Ce^2x - 1/2 x^2 - 1/2 x - 1/4 。本回答被网友采纳

Answer 3

y'-2y=x^2
The aux. equation
p-2=0
p=2
let
yg= Ae^(2x)
yp= Bx^2+Cx+D
yp'= 2Bx+C
yp'-2yp=x^2
2Bx+C-2(Bx^2+Cx+D) =x^2
-2Bx^2 +(2B-2C)x +(C-2D)=x^2
=>
-2B=1 and 2B-2C =0 and C-2D=0
B=-1/2 and C =-1/2 and D=-1/4
通解
y=yg+yp=Ae^(2x) -(1/2)x^2 -(1/2)x -1/4