一道高中数学题:请问函数f(a+x)=f(b-x)与函数f(a+x)=-f(b-x)的对称中心的对称

Question

如题所述

Answer 1

由f（a+x）=f（b-x）可知，函数f（x）的图像为轴对称图形
对称轴x=（a+x+b-x）/2=（a+b）/2
由f（a+x）=-f（b-x）可知，函数f（x）的图像是中心对称图形
对称中心（（a+b）/2，0）
轴对称和中心对称是不一样的。
来看定义：
轴对称：
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
如果一个函数的图像为轴对称图形，必须满足以下条件：
x+x’=2a
y-y'=0
用函数表示出来就是
f（x）=f（2a-x）
中心对称：
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
如果一个函数的图像为中心对称图形，必须满足以下条件：
x+x‘=2a
y+y’=2b
用函数表示出来就是
f（x）+f（2a-x）=2b

Answer 2

由于f(a+x)=f(b-x),令x=t+(b-a)/2,得到f(x+(a+b)/2)=f((a+b)/2-x)对称中心轴是(a+b)/2，没有对称中心
同理：f(a+x)=-f(b-x)，可以得到f(x+(a+b)/2)=-f((a+b)/2-x)，对称中心是((a+b)/2,0).没有对称轴

Answer 3

f(a+x)=-f(b-x)
对称中心横坐标是a+x与b-x中点，即[（a+x）+(b-x)]/2=(a+b)/2
所以对称中心为：（(a+b)/2,f[(a+b)/2]）
又：f(a+x)=-f(b-x)，令x=(b-a)/2代入得：
f[(a+b)/2]=-f[(a+b)/2]
所以f[(a+b)/2]=0
对称中心为：（(a+b)/2,0)

Answer 4

1.f(a+x)=f(b-x)
作x=x-a
f(x)=f(a+b-x)
作x=x+(a+b)/2
f((a+b)/2+x)=f((a+b)/2-x)
是偶函数
对称轴是x=(a+b)/2
2.f(a+x)=-f(b-x)
f(x)=-f(a+b-x)
f((a+b)/2+x)=-f((a+b)/2-x)
是奇函数
对称点是（(a+b)/2，0）