如何求隐函数的二阶导数？

Question

如题所述

Answer 1

隐函数的二阶导数求法为dy/dx=（dy/dt）/（dx/dt）,d2y/dx2=[d（dy/dx）/dt]/（dx/dt）。

隐函数简介：

隐函数是由隐式方程所隐含定义的函数。设F（x,y）是某个定义域上的函数。如果存在定义域上的子集D，使得对每个x属于D，存在相应的y满足F（x,y）=0，则称方程确定了一个隐函数，记为y=y（x）。

隐函数求导法则：

对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有y'的一个方程，然后化简得到y'的表达式。

举个例子，若欲求z=f（x,y）的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f（x,y,z）=0的形式，然后通过（式中F'y,F'x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。

二阶导数的定义及相关性质：

二阶导数的定义：

二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函数y=f（x）的导数y‘=f’（x）仍然是x的函数，则y’=f’（x）的导数叫做函数y=f（x）的二阶导数。在图形上，它主要表现函数的凹凸性。

二阶导数的相关性质：

如果一个函数f（x）在某个区间I上有f''（x）（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f（x）的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

二阶导数可以判断函数极大值以及极小值。结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。