矩阵相似，秩也相等吗？为什么？

Question

如题所述

Answer 1

相似矩阵行列式相等：（[]表示行列式，m为特征值)。

P^-1*A*P=B

[mE-B]=[mE-P^-1*A*P]=[m*p^-1*p-P^-1*A*P]=[P^-1*(mE-A)*P]=[mE-A]

所以行列式相等，同时特征值相等。

相似矩阵秩相等：

(1) 如果A没有0特征值,则R(A)=A的阶数.因为B只有主对角线上元素可能不为0，并且主对角线上元素为A的特征值，所以也不含零元素。所以R(B)=A的阶数=R(A)

(2) 如果A有0特征值，R(A)=R(B)=A的阶数-特征值0的个数。