(1)由题意知:f'(x)=3mx
2+4nx-12<0的解集为(-2,2),
所以-2和2为方程3mx
2+4nx-12=0的根,
由韦达定理知0=-
,-4=-
即m=1,n=0.
(2)∵f(x)=x
3-12x,∴f'(x)=3x
2-12,∵f(1)=1
3-12?1=-11
当A为切点时,切线的斜率k=f'(1)=3-12=-9,
∴切线为y+11=-9(x-1),即9x+y+2=0;
当A不为切点时,设切点为P(x
0,f(x
0)),这时切线的斜率是k=f'(x
0)=3x
02-12,
切线方程为y-f(x
0)=f'(x
0)(x-x
0),即y=3(x
02-4)x-2x
03,
因为过点A(1,-11),-11=3(x
02-4)-2x
03,∴2x
03-3x
02+1=0,(x
0-1)
2(2x
0+1)=0,
∴x
0=1或x
0=-
,而x
0=1为A点,即另一个切点为P(-
,
),∴k=f′(-
)=3×
-12=-
,
切线方程为y+11=-
(x-1),即45x+4y-1=0;
所以,过点A(1,-11)的切线为9x+y+2=0或45x+4y-1=0.
(3)存在满足条件的三条切线.
设点P(x
0,f(x
0))是过点A的直线与曲线f(x)=x
3-12x的切点,
则在P点处的切线的方程为y-f(x
0)=f'(x
0)(x-x
0)即y=3(x
02-4)x-2x
03因为其过点A(1,t),所以,t=3(x
02-4)-2x
03=-2x
03+3x
02-12,
由于有三条切线,所以方程应有3个实根,
设g(x)=2x
3-3x
2+t+12,只要使曲线有3个零点即可.
设g'(x)=6x
2-6x=0,∴x=0或x=1分别为g(x)的极值点,
当x∈(-∞,0)和(1,+∞)时g'(x)>0,g(x)在(-∞,0)和(1,+∞)上单增,
当x∈(0,1)时g'(x)<0,g(x)在(0,1)上单减,
所以,x=0为极大值点,x=1为极小值点.
所以要使曲线与x轴有3个交点,当且仅当
即
,
解得-12<t<-11.