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关于周长的定积分和面积的关系
我们知道,圆的周长2兀r在0到r的闭区间上定积分就是圆的面积兀r的平方
但为什么对于正方形,周长4x在0到x的区间上的定积分不是面积,即x的平方?
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推荐答案 2009-03-26
圆周长与半径微小变化的乘积是,恰好是微圆环的面积,即2πrdr是微小面积,在整个半径上积分就是面积。
对于正方形,应该是两个方向上的变化才行,也就是双重定积分。
如果用周长积分,你会发现,这里面有相重合的地方,所以实际上,最终的积分是正方形面积的2倍。你可以想象,一个边长把一部分面积计算了,而你在计算与他相邻的边长时,在线段末端会有重复计算的面积,四个角都有这样的现象,如果用双重积分就不会存在重复计算面积的现象。在圆上,由于只有一个方向的变化,不可能存在重复计入的问题。
最终,对于圆和正方形的面积的积分计算,所使用的坐标系是不同。
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