空间向量平行公式即共线公式
两个空间向量a,b向量(b向量不等于0),a∥b的充要条件是存在的实数λ,使a=λb
空间向量平行公式证明
1.充分:对于向量 a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使 b=λa,那么由实数与向量的积的定义 知,向量a与b共线。
2.必要:已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的m倍,即 ∣b∣=m∣a∣。那么当向量a与b同方向时,令 λ=m,有 b =λa,当向量a与b反方向时,令 λ=-m,有 b=λa。如果b=0,那么λ=0。
共线公式的推论
1.两个向量a、b共线的充要条件是:存在不全为零的实数λ、μ,使得 λa+μb=0。
2.两个非零向量a、b共线的充要条件是:存在全不为零的实数λ、μ,使得 λa+μb=0。
3.如果a、b是两个不共线的向量,且存在一对实数λ、μ,使得 λa+μb=0,那么λ=μ=0。
4.如果三点P、A、B不共线,那么点C在直线AB上的充要条件是:存在实数λ,使得向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB。(其中,向量AC=λ向量AB)。
5.如果三点P、A、B不共线,那么点C在直线AB上的充要条件是:存在不全为零的实数λ、μ、ν,使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0,λ+μ+ν=0。
扩展
向量平行公式的定义
1、对于两个向量a(向量a≠向量0),向量b,当有一个实数λ,使向量b=λ向量a(记住向量是有方向的)则向量a‖向量b。反之,当向量a‖向量b时,有且只有一个实数λ,能使向量b=λ向量a;
2、当向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2)时,当x1y2=x2y1时,向量a‖向量b,反之也成立。
“在数学中,向量(也称为欧几里得向量、几何向量、矢量),指具有大小(magnitude)和方向的量。…若a=(x,y),b=(m,n),则a//b→a×b=xn-ym=0”
平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行(或共线)向量.向量a、b平行(共线),记作a∥b。零向量长度为零,是起点与终点重合的向量,其方向不确定。我们规定:零向量与任一向量平行。平行于同一直线的一组向量是共线向量。
若a=(x,y),b=(m,n),则a//b→a×b=xn-ym=0
共线定理:若b≠0,则a//b的充要条件是存在实数λ,使向量a=λ向量b。若设a=(x1,y1),b=(x2,y2) ,则有 x1y2=x2y1 ,与平行概念相同。0向量平行于任何向量。
数与向量的乘法满足的运算律
结合律:(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。
向量对于数的分配律(一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律
① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。
向量的数量积的运算律
a·b=b·a(交换律)
(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的结合律)
(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)
向量的数量积的质
a·a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下:|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1,所以|a·b|≤|a|·|b|)
向量的向量积运算律
a×b=-b×a
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)
a×(b+c)=a×b+a×c.
(a+b)×c=a×c+b×c.
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