用直尺和圆规作线段的和差的发布方法如下:
1、先画一条射线,在用圆规在上射线上截取一条较长线段,再在其内部已已画线段的一段为端点,截取较短的一条线段,剩下的即为所求两线段的差。
2、先画一条射线,在用圆规在上射线上截取一条较长线段,再以已画线段的一端为端点,向外部截取较短线段,所画最长线段即为所求两线段的和。
仅以“有限次使用无刻度的直尺和圆规作图”这样的措辞作为定义显然是不够严密的,因为不限定每“次”以内的操作复杂度的话,“有限次”就成无意义的了。
因此,一般采用的定义是基于“作图公法”的定义,即:
1. 每次的操作只能是公认允许的五项基本操作(称为五项作图公法)之一。
2. 每次操作之前,操作者为决定是否操作和进行哪种操作可以进行的逻辑判断,也只能是几何学中公认允许的几种。
基于“作图公法”的定义如下:
尺规作图定义
承认以下五项前提,有限次运用以下五项公法而完成的作图方法,就是合法的尺规作图:
五项前提是:
(1) 允许在平面上、直线上、圆弧线上已确定的范围内任意选定一点(所谓“确定范围”,依下面四条的规则)。
(2) 可以判断同一直线上不同点的位置次序。
(3) 可以判断同一圆弧线上不同点的位置次序。
(4) 可以判断平面上一点在直线的哪一侧。
(5) 可以判断平面上一点在圆的内部还是外部。
五项公法是:
(1) 根据两个已经确定的点作出经过这两个点的直线。
(2) 以一个已经确定的点为圆心,以两个已经确定的点之间的距离为半径作圆。
(3) 确定两个已经做出的相交直线的交点。
(4) 确定已经做出的相交的圆和直线的交点。
(5) 确定已经做出的相交的两个圆的交点。
也有些资料上给出的五项公法的后两条中的“交点”改为“公共点”。这两种叙述差别在于后者多包括了“切点”。但是,因为确定切点即使不算基本操作,也是可以用其它基本操作组合实现的。所以,两种叙述的定义并无本质不同。